[論文レビュー] Slant submersions from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体へのスラント・サブマージョンを、全純および反不変サブマージョンの一般化として導入する。このようなサブマージョンが全測地的かつ調和的であるための必要十分条件を確立し、水平および垂直分布が全測地的フォリエーションを定める場合の全多様体の分解定理を証明する。

ABSTRACT

We introduce slant submersions from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds. We give examples, investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of a Riemannian submersion and check the harmonicity of such submersions. We also find necessary and sufficient conditions for a slant submersion to be totally geodesic. Moreover, we obtain a decomposition theorem for the total manifold of such submersions.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体へのスラント・サブマージョンを導入することで、全純および反不変サブマージョンの概念を一般化すること。
• このようなサブマージョンにおける水平および垂直分布が誘導するフォリエーションの幾何学を調査すること。
• スラント・サブマージョンが全測地的であるための必要十分条件を導出すること。
• スラント・サブマージョンが調和的である条件を特定すること。
• 水平および垂直分布の両方が全測地的である場合に、全多様体の分解定理を確立すること。

提案手法

• 水平ベクトルに複素構造を作用させたものと水平分布との間の角度が一定であるような、ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体へのリーマン的サブマージョンとしてスラント・サブマージョンを定義する。
• O'Neillのテンソル 𝒜 および 𝒯 を用いてサブマージョンの幾何学を特徴付け、分布の第二基本形式を分析する。
• 複素構造 J 及びその分解 φ, ω, B, C を用いてレヴィ・チビタ接続を分解し、曲率関連の恒等式を導出する。
• 内積 g₁(ℋ∇XωφY, Z₁) などのテンソル場の内積を含む条件を導出し、調和性および全測地性を特徴付ける。
• 全多様体におけるケーラー条件 (∇J = 0) を用いて曲率表現を簡略化し、それらをスラント角 θ に関連付ける。
• 水平および垂直分布に関する幾何的条件を統合し、全多様体の局所的積分解定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体へのリーマン的サブマージョンがスラント・サブマージョンと見なされるために満たすべき条件は何か？
• RQ2 スラント・サブマージョンが調和的である条件は何か？また、スラント角 θ はこれにどのように影響するか？
• RQ3 スラント・サブマージョンの水平分布が全測地的フォリエーションを定めるのはどのような場合か？
• RQ4 スラント・サブマージョンが全測地的であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 スラント・サブマージョンの全多様体が局所的にベースとファイバーのリーマン的積として分解可能となるのはどのような場合か？

主な発見

• Kähler多様体からリーマン多様体へのスラント・サブマージョンは、すべての X,Y ∈ Γ(kerF*), Z₁ ∈ Γ((kerF*)⊥) に対して、恒等式 g₁(𝒯XωY, 𝒷Z₁) + g₁(ℋ∇XωY, 𝒸Z₁) = g₁(ℋ∇XωφY, Z₁) が成り立つとき、かつそのときに限り全測地的である。
• 水平分布が全測地的フォリエーションを定めるための必要十分条件は、すべての X ∈ Γ(kerF*), Z₁,Z₂ ∈ Γ((kerF*)⊥) に対して、g₁(ℋ∇Z₁Z₂, ωφX) = g₁(𝒜Z₁𝒷Z₂ + ℋ∇Z₁𝒸Z₂, ωX) が成り立つことである。
• 全多様体が局所的にリーマン的積として分解可能であるための必要十分条件は、水平および垂直分布の両方が全測地的であることであり、これは上記の両条件が同時に満たされる場合に限り成立する。
• スラント・サブマージョンが調和的であるための条件は、水平分布が全測地的であり、かつテンソル場 𝒯 が ωφY と水平成分の間で特定の直交性条件を満たすことである。
• スラント・サブマージョンの幾何学は、スラント角 θ と曲率テンソルの相互作用によって支配され、曲率恒等式において sin²θ が重要な要因として現れる。
• 分解定理により、水平および垂直分布の両方が全測地的である場合、全多様体は局所的に積多様体に分解可能であり、これは既知の全純および反不変サブマージョンの結果を一般化する。