[論文レビュー] SLE and Virasoro representations: localization

Julien Dubédat|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、経路空間局在化の手法を用いて、境界付きリーマン面上のシュラム＝ロエーヴァー進化（SLE）測度とバーモー代数の最高重層表現との間のきめ細やかな接続を確立する。SLE型測度を構成し、その分配関数が可約ヴェルマモジュールの商を生成する。バーモー作用は拡張されたティヒミュラー空間におけるバーモー均質化を通じて実現され、確率的SLE構成と conformal field theory（CFT）表現とを結びつける。

ABSTRACT

We consider some probabilistic and analytic realizations of Virasoro highest-weight representations. Specifically, we consider measures on paths connecting points marked on the boundary of a (bordered) Riemann surface. These Schramm-Loewner Evolution (SLE)- type measures are constructed by the method of localization in path space. Their partition function (total mass) is the highest-weight vector of a Virasoro representation, and the action is given by Virasoro uniformization. We review the formalism of Virasoro uniformization, which allows to define a canonical action of Virasoro generators on functions (or sections) on a - suitably extended - Teichm\"uller space. Then we describe the construction of families of measures on paths indexed by marked bordered Riemann surfaces. Finally we relate these two notions by showing that the partition functions of the latter generate a highest-weight representation - the quotient of a reducible Verma module - for the former.

研究の動機と目的

• 境界付きリーマン面上のSLE型測度とバーモー代数の最高重層表現との間の標準的対応を確立すること。
• バーモー均質化を用いて、拡張されたティヒミュラー空間上の関数へのバーモー生成子の作用を形式化すること。
• 局在化されたSLE測度の分配関数が、可約ヴェルマモジュールの商としての最高重層表現を形成することを示すこと。
• 確定バンドルと conformal anomaly 公式の枠組みを通じて、確率的SLE構成と conformal field theory（CFT）を統合すること。

提案手法

• 境界付きリーマン面のマークド境界点を結ぶ経路上の測度を、経路空間における局在化の手法を用いて構成する。
• 拡張されたティヒミュラー空間上の断面へのバーモー生成子の標準的作用を、バーモー均質化を用いて定義する。
• ζ-正則化されたラプラシアンの行列式と conformal anomaly 公式を用いて、幾何的データと表現論的構造とを関連付ける。
• 確定バンドルの理論と可換表現を用いて、分配関数の標準的微分方程式を導出する。
• 解析的スurgeryと変動公式を用いて、ディリクレ＝ノイマン作用素の微分を計算し、バーモー作用と結びつける。
• 分解と弱微分可能性を用いて、分配関数のノルムベクトル方程式を確立し、バーモー生成子による変換性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きリーマン面上のSLE型測度を、経路空間局在化を用いて体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 バーモー代数の作用が、このようなSLE測度の分配関数空間上でどのように正確に定義されるか？
• RQ3 拡張されたティヒミュラー空間におけるバーモー均質化は、モジュライ空間上の関数へのバーモー生成子の標準的作用をどのように実現するか？
• RQ4 確定バンドルとζ-正則化されたラプラシアンは、幾何的不変量と表現論とをどのように結びつけるか？
• RQ5 SLE測度の分配関数は、最高重層バーモー表現のノルムベクトル方程式をどのように満たすか？

主な発見

• 境界付きリーマン面上の局在化SLE測度の分配関数は、バーモー代数の最高重層表現を生成する。具体的には、可約ヴェルマモジュールの商である。
• 分配関数へのバーモー作用は、拡張されたティヒミュラー空間におけるバーモー均質化を通じて実現され、代数的作用の標準的実現を提供する。
• 分配関数はバーモー代数のノルムベクトル方程式を満たし、最高重層ベクトルとしての変換性が確認される。
• 1パラメータ族の変形に沿ったディリクレ＝ノイマン作用素の微分は、θ関数とプライム形式で明示的に計算された核を持つトレースクラス積分作用素として表現される。
• ディリクレ＝ノイマン作用素のζ-正則化された行列式の変動は、均質化写像のシュワーツ微分を含むトレース公式として与えられ、幾何的変動と conformal anomaly を結びつける。
• 変動作用素のトレース評価により、シュワーツ接続の(−n−2)階微分を含む明確な表現が得られ、SLE分配関数の文脈における conformal anomaly 公式が確認される。