[論文レビュー] SLE, CFT and zig-zag probabilities

Michel Bauer, Denis Bernard|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 10

ひとこと要約

本稿は境界CFTを用いてSLEのハウルを探索することで、確率的Loewner発展（SLE）と conformal field theory（CFT）の間に深い接点を確立する。禁じられた境界区間を避ける新しい「デュアポール型」SLEを導入し、SLEのトレースが小さな球内を通過する際のジグザグ確率がCFT相関関数と相関することを示し、量子群構造を通じてSLEのブレーディングとCFTのモノドロミーの直接的な関係を明らかにする。

ABSTRACT

The aim of these notes is threefold. First, we discuss geometrical aspects of conformal covariance in stochastic Schramm-Loewner evolutions (SLEs). This leads us to introduce new ``dipolar'' SLEs, besides the known chordal, radial or annular SLEs. Second, we review the main features of our approach connecting SLEs to conformal field theories (CFTs). It is based on using boundary CFTs to probe the SLE hulls. Finally, we study zig-zag probabilities and their relation with CFT correlation functions. We suggest a putative link between the braiding of SLE samples and that of CFT correlation functions.

研究の動機と目的

• SLEとCFTの背後にある幾何的および代数的構造を、共形不変性およびベクトル場の対称性を通じて統一すること。
• 標準的なチャネル型およびラジアル型SLEとは異なる、新しいSLE変種（デュアポール型およびアニュラー型SLE）を導入し、それらを分析すること。
• SLEハウルの補集合上にCFTを構成することで、CFTとSLEを結合するフレームワークを確立すること。
• CFT相関関数を用いてジグザグ確率を計算し、それらをフラクタル次元およびモノドロミーと関連づけること。
• SLEトレースのブレーディングとCFTの演算子順序付けを通じて、SLEに量子群およびヤンギアン対称性がどのように現れるかを調査すること。

提案手法

• 正則ベクトル場の幾何とそれらのVirasoro代数への埋め込みを用いて、共形不変性を定義し、SLEを定式化する。
• レベル2のVirasoro代数の退化表現を用いて、SLEのマルティングール生成関数を構成する。
• Virasoro Wick定理および表現論を用いて、SLEハウルの補集合上にCFTを定義する。
• バキューム一次場 $\Phi_{0;1}$（スピン $h_{0;1} = (8 - \kappa)/16$）を含むCFT相関関数を用いて生存確率を計算する。
• SLEトレースがバキューム内に小さな球を所定の順序で訪問する確率を、CFTにおける$N$点相関関数と関連付ける。
• 停止時刻の技法およびマルティングール期待値を用いて、共形半径およびフラクタル次元の漸近的スケーリング則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SLEにおける共形不変性は、正則ベクトル場の幾何とそれらのVirasoro代数への実現から、どのように体系的に導出可能か？
• RQ2 チャネル型およびラジアル型SLEを超える、共形対称性および対合制約から導かれる新たなSLE変種は何か？
• RQ3 CFT相関関数は、SLEトレースの確率的挙動、特に小さな領域内を通過するジグザグパターンをどのように記述するか？
• RQ4 中間状態（共形ブロック）は、SLE関連の相関関数の値を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 SLEトレースのブレーディング関係は、CFTにおけるモノドロミーおよび量子群構造とどのように対応するか？

主な発見

• SLEトレースのフラクタル次元は $d_\kappa = 2 - 2h_{0;1} = 2 - (8 - \kappa)/8 = \kappa/4$ であり、漸近的スケーリング $\mathbf{P}[\rho(z_0,\gamma) \leq \varepsilon] \approx \varepsilon^{2h_{0;1}}$ から導出される。
• SLEトレースが所定の順序で $n$ 個の小さな球を通過する確率は $\varepsilon^{2nh_{0;1}}$ のスケーリングを示し、$N$ 点CFT相関関数 $\langle \omega| \Phi_{0;1}(z_1,\bar{z}_1) \cdots \Phi_{0;1}(z_n,\bar{z}_n) |\omega \rangle$ に比例する。
• 生存確率 $\mathbf{P}[\rho(z_0,\gamma) \leq \varepsilon]$ の計算に、マルティングール $\hat{M}_t(z_0) = \rho_t(z_0)^{-2h_{0;1}} (\sin \alpha_t / 2)^{\kappa/8 - 1}$ を停止時刻の議論を用いて用いる。
• 条件付き期待値 $\mathbf{E}[(\sin \alpha_{\theta} / 2)^{\kappa/8 - 1} \mid \rho(z_0,\gamma) \leq \varepsilon]$ は有界であり、指数 $2h_{0;1}$ のべき則スケーリングが確認される。
• ハウルの構造から、バキューム相関関数が訪問順序に依存することが示唆され、SLEにおいて非自明なモノドロミーおよび量子群作用が自然に現れる。
• SLEサンプルのブレーディングとCFT相関関数のブレーディングの間の仮説的関係が提案され、ヤンギアンや量子群による実現が可能性として示唆される。