[論文レビュー] SLE(kappa,rho) and Conformal Field Theory

John Cardy|ArXiv.org|Dec 10, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 1被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、SLE(κ,ρ⃗)過程と境界 conformal field theory (CFT) の間の関係を確立し、U(1)カレントと区分的定数ディリクレ境界条件を伴う自由場理論において、SLE(4,ρ⃗)が自然に現れることを示している。主な結果は、このようなモデルにおける等高線が、境界場の不連続性 λ ≠ λ* であっても、連続限界でSLE(4)に対応する、±λ* の普遍的なマクロなジャンプを示すことである。

ABSTRACT

SLE(kappa,rho) is a generalisation of Schramm-Loewner evolution which describes planar curves which are statistically self-similar but not conformally invariant in the strict sense. We show that, in the context of boundary conformal field theory, this process arises naturally in models which contain a conserved U(1) current density J, in which case it gives rise to a highest weight state satisfying a deformation of the usual level 2 null state condition. We apply this to a free field theory with piecewise constant Dirichlet boundary conditions, with a discontinuity lambda at the origin, and argue that this will lead to level lines in the bulk described by SLE(4,rho) across which there is a universal macroscopic jump lambda* in the field, independent of the value of lambda.

研究の動機と目的

• SLE(κ,ρ⃗)過程と境界 conformal field theory (CFT) の間の関係を確立すること、特に保存則を満たすU(1)カレントが存在する場合に焦点を当てる。
• 不連続ディリクレ境界条件を伴う自由場理論におけるSLE(4,ρ⃗)の出現を調査すること。
• このようなモデルにおける等高線が、境界不連続性λに依存しない、普遍的なマクロな場のジャンプを示すかどうかを特定すること。
• SLE曲線に沿った有効カレントのスクリーニングに寄与するカレント-カレント相互作用の役割を調査し、SLE過程の普遍性に与える影響を明らかにすること。
• 特に臨界定数λ*との関係において、格子モデルにおける等高線の連続限界がSLE(4)として現れる条件を明確にすること。

提案手法

• 駆動関数W_tがブラウン運動項と、∑ρ_j / X_t^(j)に比例するドリフト項を含む確率微分方程式を用いてSLE(κ,ρ⃗)を定式化する。ここでX_t^(j)はロエーナー型方程式に従って進化する。
• 点X_t^(j)にπρ_jの不連続性を持つ調和関数Φ_t(z)を導入し、カレント密度𝒥_t^μ = ε^{μν}∂_νΦ_tを定義する。このカレントはdW_t = √κ dB_t − 𝒥_t^x(0) dtとしてSLEダイナミクスに組み込まれる。
• SLE(4,ρ⃗)過程に対応するCFTにおける境界状態を分析し、L_{-2}、L_{-1}^2、およびJ_{-1}L_{-1}項を含む変形されたレベル2ノルム状態条件を満たすことを示す。
• 原点に不連続性λを有する区分的定数ディリクレ境界条件を伴う自由場理論を考案し、その結果生じるバルクにおける等高線を研究する。
• φ(r)が2πΛの単位で量子化される離散ガウスモデルを用いた格子離散化を行い、スクリーニング効果をモデル化するためのカレント-カレント相互作用を導入する。
• Λ = λ*のとき、理論は微小に無関係となり、等高線は連続限界でSLE(4)に収束し、曲線を越えて±λ*の普遍的ジャンプを示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界CFTに保存則を満たすU(1)カレントが存在する状況下で、SLE(κ,ρ⃗)はどのように出現するか？
• RQ2 境界不連続性λが、自由場理論における等高線の普遍的クラスを決定づける役割を果たすか？
• RQ3 不連続境界条件を伴う自由場における等高線が、λに依存しない普遍的なマクロな場のジャンプを示すか？
• RQ4 カレント-カレント相互作用は、SLE曲線に沿った有効カレントをどのようにスクリーニングし、SLE過程にどのような影響を与えるか？
• RQ5 格子等高線の連続限界がSLE(4)に対応する条件は何か？なぜジャンプ値λ*が普遍的なのか？

主な発見

• 保存則を満たすU(1)カレントが存在する境界CFTにおいて、SLE(4,ρ⃗)は自然に出現する。境界状態は、L_{-2}、L_{-1}^2、およびJ_{-1}L_{-1}項を含む変形されたレベル2ノルム状態条件を満たす。
• 境界不連続性λ = λ*を有する自由場において、バルクにおける等高線は連続限界でSLE(4)として記述され、曲線を越えて±λ*の普遍的なマクロなジャンプを示す。
• λ ≠ λ*の場合でも、プロセスは依然としてSLE(4,ρ⃗)であるが、カレント-カレント相互作用によるスクリーニングにより、有効ジャンプ振幅が低下する。
• 値λ*は、離散ガウスモデルにおける臨界定数（Λ = λ*）に対応し、カレント-カレント相互作用が微小に無関係となる状態であり、SLE(4)限界の普遍性を保証する。
• シミュレーションおよび厳密な結果（例：SchrammとSheffield [13]）により、格子モデルにおける等高線が連続限界で正確に±λ*のジャンプを示すSLE(4)に収束することが確認された。
• 短距離カレント-カレント相互作用によるスクリーニング効果は、u > 0のとき有効カレントを(1 + 4πu)^{-1/2}の係数で減少させ、摂動に対しても普遍性が保たれる仕組みを説明する。