[論文レビュー] SLE martingales in coset conformal field theory

Anton Nazarov|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、余剰空間 G/A 上のブラウン運動を伴う SLE に対してマルティンゲールであるとされる、コセット conformal field theory (CFT) 内の相関関数を同定することにより、シュラム＝ロエーバー過程 (SLE) とコセット CFT の間の関係を確立する。著者らは、SLE パrameter (κ, τ) と CFT データ (重み、キャスミール固有値) の明示的関係を導出し、パラフェルミオン的および最小モデルと整合することを確認した。さらに、コセット CFT の質量項摂動を用いた非臨界的 SLE の研究のための枠組みを提案する。

ABSTRACT

Scharmm-Loewner evolution (SLE) and conformal field theory (CFT) are popular and widely used instruments to study critical behavior of two-dimensional models, but they use different objects. While SLE has natural connection with lattice models and is suitable for strict proofs, it lacks computational and predictive power of conformal field theory. To provide a way for the concurrent use of SLE and CFT we consider CFT correlation functions which are martingales with respect to SLE. We establish connection between parameters of Schramm-Loewner evolution on coset space and algebraic data of coset conformal field theory. Then we check the consistency of our approach with the behaviour of parafermionic and minimal models. Coset models are connected with off-critical massive field theories and we discuss implications for SLE.

研究の動機と目的

• 余剰空間 G/A 上のブラウン運動を伴う SLE に対してマルティンゲールである観測量を同定することにより、SLE とコセット CFT を橋渡しすること。
• SLE パrameter (κ, τ) とコセット CFT の代数的データ（重み、キャスミール固有値など）との明示的関係を導出すること。
• 提案された枠組みが、既知のパラフェルミオン的および最小モデルの結果と整合することを検証すること。
• アフィン Toda 細胞理論として実現されるコセット CFT の質量項摂動と、漂移項を伴う非臨界的 SLE を結びつけることにより、非臨界的 SLE の意味を検討すること。

提案手法

• ブラウン運動に漂移パrameter τ を含む確率微分方程式を用いて、余剰空間 G/A 上の SLE を定式化する。
• G と A の表現の重み (μ, ν) でラベル付けされた境界条件変更型演算子を定義する。
• 正則写像を用いて、スリット領域 H_t 上の相関関数を全平面における相関関数で表現する。
• 伊藤微積分を適用して必要なマルティンゲール条件を導出し、κ, τ と CFT データを関連付ける2つの式 (12) と (13) を得る。
• G および A のリー代数に対する2次キャスミール固有値 C_μ と C_ν を用いて、マルティンゲール条件を代数的に表現する。
• Z_N パラフェルミオン (N=2,3) および最小ユニタリモデルのコセット構成を用いて、既知のモデルと整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コセット CFT 内のどの相関関数が、余剰空間 G/A 上の SLE に対してマルティンゲールであるか？
• RQ2 SLE パrameter κ と τ は、コセット CFT の共形的重みおよびキャスミール固有値とどのように関係しているか？
• RQ3 提案された枠組みは、パラフェルミオン的および最小モデルにおける既知の SLE パrameter を再現するか？
• RQ4 アフィン Toda 細胞理論として実現されるコセット CFT の質量項摂動は、漂移項を伴う非臨界的 SLE と結びつけられるか？
• RQ5 SLE 動的系における τ 項は、相関関数内の主要な場の摂動の効果に対応するか？

主な発見

• Z_2 パラフェルミオン模型（イジング CFT）において、マルティンゲール条件から h=1/2 場に対して κ=3、τ=0 が得られ、h=1/16 場に対しては κ=16/3、τ=0 が得られ、既知の SLE 値と一致する。
• Z_3 パラフェルミオン模型では、3つの異なる (κ, τ) 組み合わせ (208/25, 242/225)、(10/3, 0)、(80/19, 14/171) が得られ、場の内容と対称性と整合的である。
• Z_3 型で h=2/5 の場は Z_3 シンギュラリティに対応し、τ=0 となる。これは追加のブラウン運動が存在しないことを確認する。
• 最小ユニタリモデルがコセットとして実現される場合、方程式 (12) と (13) の系は一貫して満たされ、τ=0 および標準的な κ(c) 関係が得られる。
• この枠組みは、G/A コセット CFT の質量項摂動（アフィン Toda 細胞理論として実現）と、漂移項を伴う非臨界的 SLE の間の対応を示唆し、臨界性から離れたドメインウォールの研究への道筋を示す。
• κ, τ と CFT データの間の導出された関係は、コセット表現理論から直接 SLE パrameter を計算するための体系的な手法を提供する。