[論文レビュー] Slice theorem for Fréchet group actions and covariant symplectic field theory

Tobias Diez|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所凸空間に台を持つ無限次元多様体における微分形式のきめ細かい枠組みを構築し、余接バンドルが滑らかさ構造を持たないという問題に対処する。微分形式をバンドルの断面ではなく、局所的表現の滑らかさによって定義することで、外微分、楔積、および縮約をこの文脈で確立し、共変シンプレクティック場理論やFréchet群作用のスライス定理への基礎的ツールを可能にする。

ABSTRACT

A general slice theorem for the action of a Fréchet Lie group on a Fréchet manifolds is established. The Nash-Moser theorem provides the fundamental tool to generalize the result of Palais to this infinite-dimensional setting. The presented slice theorem is illustrated by its application to gauge theories: the action of the gauge transformation group admits smooth slices at every point and thus the gauge orbit space is stratified by Fréchet manifolds. Furthermore, a covariant and symplectic formulation of classical field theory is proposed and extensively discussed. At the root of this novel framework is the incorporation of field degrees of freedom F and spacetime M into the product manifold F * M. The induced bigrading of differential forms is used in order to carry over the usual symplectic theory to this new setting. The examples of the Klein-Gordon field and general Yang-Mills theory illustrate that the presented approach conveniently handles the occurring symmetries.

研究の動機と目的

• モデル空間がノルム化可能でない場合に、余接バンドルが滑らかさ構造を持たないという問題を解消すること。
• 余接バンドルに微分構造が不要な、代数的に根ざした微分形式の代替定義を提供すること。
• 外微分、楔積、縮約といった標準的演算を、局所的代表元の滑らかさを用いて無限次元設定へと拡張すること。
• 共変シンプレクティック場理論やFréchet群作用のスライス定理の発展を支えるために、滑らかさのための堅実な微分積分学的基盤を確立すること。
• 古典的微分積分学に代えて、非ノルム化設定における滑らかさを扱うために便利な微分積分学（Kriegl-Michor）の使用を正当化すること。

提案手法

• $V$-値 $k$-形式を、$V$ が局所凸空間であるときの集合論的バンドル $\Lambda^k(M,V) = \bigsqcup_{m\in M} \Lambda^k((T_mM)^",V)$ の断面として定義する。
• $\alpha$ が滑らかであるとは、局所的表現 $U \times E^k \to V$ が、$\alpha(x, X^{(1)}, \dots, X^{(k)}) = \alpha_{\kappa^{-1}(x)}((\kappa^{-1})'_x X^{(1)}, \dots)$ で与えられ、この表現が便利な微分積分学の意味で滑らかであるときを指す。
• 外微分の局所的表現を $ (\mathrm{d}\alpha)_m(X^{(0)}_m, \dots, X^{(k)}_m) = \sum_{i=0}^k (-1)^i (\mathrm{d}_1\alpha)_m(X^{(i)}_m; X^{(0)}_m, \dots, \widehat{X^{(i)}}_m, \dots, X^{(k)}_m) $ として用い、滑らかさと反対称性を保証する。
• Kriegl-Michorの便利な微分積分学フレームワークを活用し、双対空間 $E'$ が多様体として位相を持たない場合でも、$ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ といった写像が滑らかであることを保証する。
• 局所座標に基づく構成を避けて、代数的恒等式（例：カルタンの公式）を用いることで、流れやベクトル場の力学に依存せずに幾何的整合性を維持する。
• 楔積、外微分、縮約といった標準的演算が、バンドル幾何学に依存せず、局所的代表元の滑らかさに依存することで、無限次元設定へと持ち込めることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接バンドルが滑らかさ構造を持たない場合に、無限次元多様体上で微分形式を一貫して定義できるか？
• RQ2 余接バンドルに微分構造がない状況下で、外微分をどのように定義し、滑らかであることを示せるか？
• RQ3 楔積、縮約などの微分形式の標準的演算が、無限次元設定でどの程度保存できるか？
• RQ4 Kriegl-Michorの便利な微分積分学の枠組みを用いて、双対空間がノルム化可能でない場合に滑らかな微分形式を定義できるか？
• RQ5 カルタンの公式などの代数的恒等式が、無限次元幾何学における局所的または力学的定義を置き換える役割を果たすのはどのような場合か？

主な発見

• ノルム化可能でない局所凸空間に台を持つ多様体 $M$ の余接バンドル $T^*M$ は、双対空間 $E'$ に任意の位相を入れても、評価写像 $E' \times E \to \mathbb{R}$ が 0 で不連続であるため、滑らかさ構造を備えられない。
• $E$ がノルム化可能でない場合、微分同相 $\psi$ に起因する写像 $ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ は双対空間 $E'$ で連続（したがって滑らかでない）ため、余接バンドルを滑らかなバンドルとして構成する標準的手法が無効になる。
• 余接バンドルが滑らかなバンドルでないにもかかわらず、局所的代表 $ U \times E^k \to V $ の滑らかさに基づいて微分形式を定義できる。この代表は便利な微分積分学においても正しく定義されている。
• 外微分 $\mathrm{d}\alpha$ は、反対称性と拡張の独立性を保証する $\mathrm{d}_1\alpha$ を含む局所的公式により、無限次元設定でも正しく定義され、滑らかである。
• 便利な微分積分学の使用により、$ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ が連続でない場合でも滑らかであることが保証され、滑らかな微分形式を定義する障害が解消される。
• 楔積、外微分、縮約といった標準的演算は、バンドル幾何学に依存せず、局所的代表の滑らかさに依存することで、無限次元的文脈へと持ち込める。