[論文レビュー] Sliding mode control for a generalization of the Caginalp phase-field system

Pierluigi Colli, Davide Manini|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グリーン＝ナグディおよびポディオ＝ギウジュリの熱力学理論にインspiredされた熱的変位を組み込んだ、Caginalp相場系の2階一般化に対するスライディングモード制御（SMC）を開発する。適切な制御則と正則性条件の下で、解の存在、一意性、連続的依存性、およびスライディング多様体（温度と相変数の線形制約または所定の相分布）への有限時間収束を証明する。

ABSTRACT

In the present paper, we present and solve the sliding mode control (SMC) problem for a second-order generalization of the Caginalp phase-field system. This generalization, inspired by the theories developed by Green and Naghdi on one side, and Podio-Guidugli on the other, deals with the concept of thermal displacement, i.e., a primitive with respect to the time of the temperature. Two control laws are considered: the former forces the solution to reach a sliding manifold described by a linear constraint between the temperature and the phase variable; the latter forces the phase variable to reach a prescribed distribution $\varphi^*$. We prove existence, uniqueness as well as continuous dependence of the solutions for both problems; two regularity results are also given. We also prove that, under suitable conditions, the solutions reach the sliding manifold within finite time.

研究の動機と目的

• 熱的変位を含む2階一般化Caginalp相場系へのスライディングモード制御（SMC）の拡張を目的とする。
• 温度と相変数の間の線形制約によって定義されるスライディング多様体に、システム状態が到達し維持するよう状態フィードバック制御則を設計すること。
• 相変数が所定の目標分布ϕ∗に到達し維持するよう制御則を設計すること。
• 提案されたSMCフレームワーク下での解の存在、一意性、連続的依存性および正則性を確立すること。
• 制御パラメータに関する適切な条件下で、システム軌道がスライディング多様体に有限時間で収束することを証明すること。

提案手法

• グリーン＝ナグディおよびポディオ＝ギウジュリの熱力学理論にインスパイアされ、温度ϑの時間積分として定義される熱的変位wを用いて、一般化されたCaginalp相場系を定式化する。
• 2つの制御則を導入する：1つはϑとϕの間の線形制約をスライディング多様体として強制し、もう1つはϕを目標ϕ∗に誘導する。
• 制御則における非滑らかな符号関数を扱うために、ヨシダ正則化（Signε）を用い、ペナルティ近似による解析を可能にする。
• 正則化された系について、変分定式化とエネルギー推定を導出し、ヒルベルト空間における弱定式化を活用する。
• グロンウォール型不等式および微分不等式の技法を用いて、状態がスライディング多様体に有限時間で収束することを証明する。
• ノルムの弱下準連続性およびルベーグの優越収束定理を用いて、正則化方程式系における極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱的変位を組み込んだ2階一般化Caginalp相場系に、スライディングモード制御が効果的に適用可能か？
• RQ2 提案された制御則のもとで、システム状態が有限時間内にスライディング多様体に到達する条件は何か？
• RQ3 制御された相場系の解の存在、一意性、正則性の性質は何か？
• RQ4 非滑らかな項と非線形性が存在する中で、制御則がロバスト性と有限時間収束をどのように保証するか？
• RQ5 正則化パラメータεおよび制御利得ρが収束性と安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 両方の制御問題について、初期データおよびパラメータに連続的に依存する一意な解が存在する。
• 解は2つの正則性結果を満たす：1つは温度および相変数について、もう1つは熱的変位およびその時間微分について。
• スライディング多様体への有限時間収束が証明された：問題(A)では、状態が時間T∗ < Tで多様体に到達し、T∗ ≤ (2ψ₀)/(ρ − 2C₅ − C₅²/2) を満たす。ここでψ₀ = ∥ϑ₀ + α − η∗∥_H である。
• 問題(B)では、T∗ ≤ ψ₀/(ρ − C₁₀) を満たす有限時間収束が成立し、ψ₀ = ∥ϕ₀ − ϕ∗∥_H である。
• 制御利得ρは、有限時間収束を保証するための閾値ρ∗を超える必要がある。ρ∗はシステムパラメータおよび時間区間の関数として明示的に定義される。
• 収束はロバストである：非滑らかなポテンシャル（例えば、微分不能な二重井戸型ポテンシャル）や非局所的制御項が存在する場合でも、解析は成立する。