[論文レビュー] Slow and Ordinary Provability for Peano Arithmetic

Paula Henk, Fedor Pakhomov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ペアノ算術（PA）における3つの異なる遅延証明可能性の変種を調査し、PAと通常の整合性の間の理論を厳密に中間とする新しい整合性文を導入する。これらの変種に基づくチューリング＝フェルマー進化が、それぞれε₀、ω、2ステップでPA + Con_PAに達することを示し、通常のPA証明可能性と併せたその共同証明論的論理を完全に同定する。

ABSTRACT

The notion of slow provability for Peano Arithmetic ($\mathsf{PA}$) was introduced by S.D. Friedman, M. Rathjen, and A. Weiermann. They studied the slow consistency statement $\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ that asserts that a contradiction is not slow provable in $\mathsf{PA}$. They showed that the logical strength of $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ lies strictly between that of $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}$ together with its ordinary consistency: $\mathsf{PA}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}$. This paper is a further investigation into slow provability and its interplay with ordinary provability in $\mathsf{PA}$. We study three variants of slow provability. The associated consistency statement of each of these yields a theory that lies strictly between $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in terms of logical strength. We investigate Turing-Feferman progressions based on these variants of slow provability. We show that for our three notions, the Turing-Feferman progression reaches $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in a different numbers of steps, namely $\varepsilon_0$, $ω$, and $2$. For each of the three slow provability predicates, we also determine its joint provability logic with ordinary $\mathsf{PA}$-provability.

研究の動機と目的

• ペアノ算術（PA）における遅延証明可能性と通常の証明可能性の論理的強さおよび相互作用を調査すること。
• 異なる遅延証明可能性の変種が、整合性文の強さとその反復拡張に与える影響を分析すること。
• 遅延整合性述語に基づくチューリング＝フェルマー進化の証明論的挙動を特定すること。
• 各変種について、遅延証明可能性と通常のPA証明可能性の共同証明論的論理を特徴づけること。
• 遅延整合性反復の収束が完全なPA整合性に至ることに関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 高速成長階層の関数F_ε₀から得られる再帰的関数に基づく、3つの異なる遅延証明可能性述語を定義する。
• fが非公証的全関数であるとき、PA↾fにおける矛盾の証明可能性がないという主張である、遅延整合性文Con_fを形式化する。
• 証明可能性論的論理の枠組みを用いて、遅延整合性文の順序数的反復を定義し、ヒルベルト＝ベルナイス＝ローブの導出条件を満たすように保証する。
• 通常のPA証明可能性と遅延証明可能性述語の共同証明論的挙動を記述するためのモーダル論理GL2を構成する。
• ソロヴァー風の算術的実現を適用し、GL2が遅延証明可能性と通常の証明可能性述語に関して算術的完全性を満たすことを証明する。
• 木構造のGLフレームとアクセス関係（≺および≺₂）を用いて、共同証明論的論理のモーダル構造をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの順序数α ∈ (ω, ε₀) に対して、PAがS_nのα回目の遅延証明可能性反復が通常のPA証明可能性に同値であることを証明できるような列S_nが存在するか？
• RQ2 高階の反復（例：□_f^n）を遅延証明可能性に適用した場合、主定理の類似が成り立つか？
• RQ3 GL2の共同証明論的論理を線形に順序付けられたモダリティを持つ多モダリティ論理に一般化できるか？また、算術的完全性はそのような系へも拡張可能か？
• RQ4 定理16の条件を満たす任意の2つの証明可能性述語に対して、常にある素朴な整列順序と順序数αが存在し、一方の述語が他方のα回目の反復であるようにできるか？
• RQ5 どの自然数n > 2に対し、任意のφについてPAが□_f^n φ ↔ □φを証明できるような再帰的関数fが存在するか？

主な発見

• F_ε₀に基づく遅延整合性文のε₀回目の反復は、通常のPA整合性と同値であり、[9, Remark 4.4]で提起された疑問を解決する。
• PA↾fの定義を修正することで、ω回目の反復で既にPA + Con_PAに達する遅延整合性文が得られる。
• 1つの遅延証明可能性変種に基づくチューリング＝フェルマー進化は、ε₀ステップでPA + Con_PAに到達する。
• 2番目の変種に基づく進化は、ωステップでPA + Con_PAに到達する。
• 3番目の変種に基づく進化は、わずか2ステップでPA + Con_PAに到達する。
• 通常のPA証明可能性と各遅延証明可能性変種の共同証明論的論理は、木構造のGLフレームと導出された2段階アクセス関係に基づく健全かつ完全なKripkeフレーム意味論を持つGL2として特徴づけられる。