[論文レビュー] Slow blow-up solutions for the H^1(R^3) critical focusing semi-linear wave equation in R^3

Joachim Krieger, Wilhelm Schlag+1 more|ArXiv.org|Feb 1, 2007

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ H^1(\mathbb{R}^3) $-臨界な焦点的非線形波動方程式 $ \partial_{tt}u - \Delta u - u^5 = 0 $ に対して、原点でゆっくりと爆発する径対称エネルギー解を構成する。具体的には、$ \nu > \frac{1}{2} $ に対して $ \lambda(t) = t^{-1-\nu} $ のような遅い爆発レートをとる。解は $ u = \lambda(t)^{1/2} W(\lambda(t)r) + \eta $ の形をとり、ここで $ W $ は定常解であり、$ \eta $ は $ t \to 0^- $ のときエネルギーノルムで減少する放射項であり、光円錐外ではエネルギーが制御される。

ABSTRACT

We prove the existence of energy solutions of the energy critical focusing wave equation in R^3 which blow up exactly at x=t=0. They decompose into a bulk term plus radiation term. The bulk is a rescaled version of the stationary "soliton" type solution of the NLW. The construction depends crucially on the renormalization procedure of the "soliton" which we introduced in our companion paper on the wave map problem.

研究の動機と目的

• 3+1次元のエネルギー臨界的焦点的波動方程式に対して、所望の遅い爆発レートを持つ有限時間爆発解を構成すること。
• 解が正確に $ r = t = 0 $ で爆発することを確立し、自己相似的プロファイル $ \lambda(t)^{1/2} W(\lambda(t)r) $ を持つこと、ここで $ W $ はグランドステートソリトンである。
• 放射項 $ \eta $ を制御し、$ t \to 0^- $ のときそのエネルギーノルムが消えるようにすることにより、爆発領域内でも解が正則のままであることを保証すること。
• 光円錐 $ r > t $ の外側のエネルギーがすべての十分小さい $ t > 0 $ に対して一様に小さくなるように保証することにより、爆発挙動が円錐内に限定されることを確保すること。

提案手法

• 光円錐 $ r \leq t $ 内で、$ W(r) = (1 + r^2/3)^{-1/2} $ のソリトンプロファイルに基づく近似解 $ u_{2k-1} $ を構築し、$ \lambda(t)^{1/2} $ でスケーリングする。ここで $ \lambda(t) = t^{-1-\nu} $ である。
• 線形化作用素の周りの指数的に増大するモードを除去するために、正規化法を用い、爆発プロファイルの安定性を保証する。
• 重み付きソボレフ空間 $ L^{\infty,N-2}H^{2\alpha+1} $ を用いて摂動 $ v $ の補正方程式を導出し、$ \alpha < \nu/4 $ の条件下で正則性と減衰を制御する。
• $ \alpha \geq 1/8 $ の条件下で、分数階のライブニッツ則とソボレフ埋め込みを用いて、$ H^{2\alpha+1} $ 空間における五次非線形推定を適用し、反復を閉じる。
• 有限速度伝播とエネルギー保存則を用いて、$ r \leq t $ の領域における解を $ r > t $ の外部に拡張し、円錐外のエネルギーが小さく保たれることを維持する。
• エネルギー保存則とソボレフ不等式に基づく連続性議論を用いて、すべての $ t \in (0, t_0) $ において円錐外のエネルギーが小さく保たれることを示し、時間ゼロ以前の過早な爆発を防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー臨界的波動方程式 $ H^1(\mathbb{R}^3) $-臨界に対して、自己相似レートより遅い爆発レートを持つ遅い爆発解を構成することは可能か？
• RQ2 定常解 $ W $ の周りでの波動方程式の線形化における不安定モードは、どのようにして除去され、安定な爆発プロファイルが構成されるか？
• RQ3 解分解 $ u = \lambda(t)^{1/2}W(\lambda(t)r) + \eta $ における放射項 $ \eta $ は、$ t \to 0^- $ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 すべての十分小さい $ t > 0 $ に対して、光円錐外 $ r > t $ の解のエネルギーが任意に小さい $ \delta $ で一様に有界に保たれるか？

主な発見

• 任意の $ \nu > \frac{1}{2} $ および $ \delta > 0 $ に対して、$ t = 0 $ で正確に爆発する径対称エネルギー解が存在し、$ \lambda(t) = t^{-1-\nu} $ を満たす。
• 解は $ \int_{r \leq t} \left( |\nabla \eta|^2 + |\eta_t|^2 + |\eta|^6 \right) dx \to 0 $ を満たす $ t \to 0^- $ のとき、放射項がエネルギーノルムで消えることを確認する。
• 円錐外のエネルギーはすべての十分小さい $ t > 0 $ に対して $ \int_{r > t} \left( |\nabla u|^2 + |u_t|^2 + |u|^6 \right) dx < \delta $ を満たし、$ t $ に対して一様である。
• 解の正則性は $ \nu $ が大きくなるにつれて向上し、指数的に増大するモードを除去するための正規化法に依存する。
• 解は重み付きソボレフ空間における反復スキームにより構成され、$ \alpha \geq \frac{1}{8} $ のとき五次非線形推定が反復を閉じる。
• エネルギー保存則と連続性議論により、解が時間ゼロ以前に円錐外で爆発しないことが保証され、原点での爆発が維持される。