[論文レビュー] Slow Divergence and Unique Ergodicity

Yitwah Cheung, Alex Eskin|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上の二次微分形式の垂直foliationの唯一のエルゴディシティに関する新しい基準を確立する。Teichmüller geodesicが十分にゆっくり発散する場合、具体的には、最短のサドル接続の対数的長さが十分に小さいεに対してε log t + C未満で増加する場合、そのfoliationは唯一のエルゴディックである。この結果は、マスールの再帰に基づく唯一のエルゴディシティに関する結果を再帰的でないgeodesicへと拡張し、トーラスの2点における分岐被覆における非エルゴディック方向を特徴付けるのにも応用可能である。

ABSTRACT

Masur showed that a Teichmuller geodesic that is recurrent in the moduli space of closed Riemann surfaces is necessarily determined by a quadratic differential with a uniquely ergodic vertical foliation. In this paper, we show that a divergent Teichmuller geodesic satisfying a certain slow rate of divergence is also necessarily determined by a quadratic differential with unique ergodic vertical foliation. As an application, we sketch a proof of a complete characterization of the set of nonergodic directions in any double cover of the flat torus branched over two points.

研究の動機と目的

• マスールの再帰的geodesicに関する唯一のエルゴディシティの結果を、再帰的でないTeichmüller geodesicへと拡張すること。
• geodesicの発散速度に基づく唯一のエルゴディシティの十分条件を確立すること。
• 2点で分岐する平坦トーラスの被覆における非エルゴディック方向を特徴付けること。
• 具体的な力学系にゆっくりとした発散基準を適用し、ヴェーチの問いを解決すること。

提案手法

• Teichmüller geodesic X_t 上の最短サドル接続の長さℓ(X_t)を用いて、発散関数 d(t) = -2 log ℓ(X_t) を定義する。
• 長方形による点間のK-可視性およびK-到達可能性の概念を導入し、エルゴディック平均の比較を可能にする。
• サドル接続長の幾何的制御を用いて、有限個かつ一様な測度を持つX_tにおけるK-ネットワークの長方形を構成する。
• 特定の面積列|A_j|の非summabilityを用いて、[MS]の非エルゴディック性基準を適用し、発散速度とエルゴディシティの関係を結びつける。
• 臨界時における表面をシリンダーの和集合として表現し、面積交換推定を用いてバッファ領域のサイズを評価する。
• 補題4.1を適用して、∑|A_j| = ∞ ならば、すべての一般点が同じエルゴディック平均を定義することを示し、これが唯一のエルゴディシティを意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Teichmüller geodesicの発散速度にどのような条件を課すと、垂直foliationが唯一のエルゴディックになるか？
• RQ2 唯一のエルゴディシティ基準を再帰的geodesicに限らず、発散的geodesicへと拡張できるか？
• RQ3 2点で分岐するトーラスの被覆における非エルゴディック方向の集合は何か？
• RQ4 このクラスの翻訳表面におけるサドル接続およびホロノミーベクトルの幾何学は、エルゴディシティとどのように関係するか？
• RQ5 分離するおよび非分離するスリットは、ダブルトーラス上のfoliationのエルゴディック行動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• d(t) < ε log t + C を満たすε > 0 およびすべてのt > 0 に対して、垂直foliationは唯一のエルゴディックである。
• ゆっくりとした発散条件により、バッファ領域に関連する面積測度|A_j|の列が∑|A_j| = ∞ を満たすことが保証され、これが唯一のエルゴディシティを意味する。
• ∑|A_j| < ∞ ならば、[MS]の非エルゴディック性基準が適用され、foliationは非エルゴディックであることが示される。
• 2点で分岐するトーラスの被覆において、ある方向が非エルゴディックであるのは、関連するgeodesicの発散が十分に速い、すなわち∑|A_j| < ∞ である場合に限る。
• 非エルゴディック方向の集合は、まさにサドル接続長の列がゆっくりと減少しすぎず、ゆっくりとした発散条件を満たさない場合に一致する。
• 証明は、各X_tにおいて測度がδ以上で、高々N個の正方形からなるK-ネットワークを構成し、命題2.6の条件を満たす。これにより、唯一のエルゴディシティが保証される。