[論文レビュー] Slow invariant manifold of heartbeat model

Jean‐Marc Ginoux, Bruno Rossetto|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、位相空間内の軌道曲線の曲率が0となることを利用し、4次元の非駆動型および駆動型心拍モデルのスローダイナミクスを解析的に計算するためのフローカーブチャーメソッドを提案する。この手法により、すべての変数を結びつける閉形式の「状態方程式」が得られ、心臓動態の予測や制御への応用が可能となる。

ABSTRACT

A new approach called Flow Curvature Method has been recently developed in a book entitled Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. It consists in considering the trajectory curve, integral of any n-dimensional dynamical system as a curve in Euclidean n-space that enables to analytically compute the curvature of the trajectory - or the flow. Hence, it has been stated on the one hand that the location of the points where the curvature of the flow vanishes defines a manifold called flow curvature manifold and on the other hand that such a manifold associated with any n-dimensional dynamical system directly provides its slow manifold analytical equation the invariance of which has been proved according to Darboux theory. The Flow Curvature Method has been already applied to many types of autonomous dynamical systems either singularly perturbed such as Van der Pol Model, FitzHugh-Nagumo Model, Chua's Model, ...) or non-singularly perturbed such as Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts Model, Rikitake Model, Lorenz Model,... More- over, it has been also applied to non-autonomous dynamical systems such as the Forced Van der Pol Model. In this article it will be used for the first time to analytically compute the slow invariant manifold analytical equation of the four-dimensional Unforced and Forced Heartbeat Model. Its slow invariant manifold equation which can be considered as a "state equation" linking all variables could then be used in heart prediction and control according to the strong correspondence between the model and the physiological cardiovascular system behavior.

研究の動機と目的

• 新規な幾何的アプローチを用いて、4次元非駆動型心拍モデルのスローダイナミクス多様体を解析的に計算すること。
• 変数拡張を用いて非-autonomous系をautonomous系に変換することで、6次元駆動型心拍モデルへの手法の拡張を図ること。
• すべての系変数を結びつける「状態方程式」として機能するスローマニフォールド方程式を確立すること。
• ダルブーの定理および幾何学的不変性原理を用いて、計算された多様体の不変性を検証すること。
• 本手法が、心拍数の予測や制御への応用が可能な複雑なバイオダイナミクス系へも一般化可能であることを示すこと。

提案手法

• フローカーブチャーメソッドは、力学系の軌道曲線をユークリッド空間内でのn次元曲線とみなして、その曲率を解析的に計算する。
• この手法は、軌道の曲率が0となる点の集合、すなわち流動曲率多様体を定義し、det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0 で表される。
• ダルブーの定理を用いて、この多様体が不変であることが証明され、スローマニフォールドとしての妥当性が保証される。
• 区分的線形関数（例：h(x)）を含む系では、各領域（x < -0.5 および x > 0.5）に対して別々の多項式方程式が計算される。
• 非-autonomous系（例：駆動型心拍モデル）は、調和振動子に対応する2つの次元を追加することで、autonomous系に変換される。
• 得られた高次元系（6次元）に対しても、同じ曲率に基づく多様体検出法を適用し、幾何学的および力学的整合性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フローカーブチャーメソッドは、4次元非駆動型心拍モデルのスローダイナミクス不変多様体を解析的に計算できるか？
• RQ2 本手法は、駆動型心拍モデルのような非-autonomous系へどのように拡張できるか？
• RQ3 心拍モデルにおいてすべての状態変数を結びつけるスローマニフォールド方程式の解析的形は何か？
• RQ4 計算されたスローマニフォールドは、生理的心臓動態および不整脈パターンとどのように関係しているか？
• RQ5 微分幾何学およびダルブーの定理を用いて、計算された多様体の不変性を厳密に証明できるか？

主な発見

• 非駆動型心拍モデルのスローダイナミクス多様体は、det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0 として解析的に導出され、すべての変数を結びつける閉形式の「状態方程式」として機能する。
• R = 0.018 Ω の場合、スローマニフォールド方程式が計算され、時間スケール分離パラメータが小さいため、(x₁, x₂, x₃)位相空間における軌道とよく一致することが示された。
• 余弦駆動を調和振動子に埋め込むことで、6次元駆動型心拍モデルへの手法の適用に成功し、autonomous性が保持された。
• 流動曲率多様体とそのリーマン微分（Lie微分）が、スローマニフォールド付近で一致し、ダルブーの定理による局所的不変性が確認された。
• スローマニフォールド方程式により、系の支配的で遅いダイナミクスを捉えることができ、心臓変数の予測や制御への応用が可能となる。
• 著者らが今後の研究として示唆するように、本手法はHIV-1モデルを含む他のバイオダイナミクス系へも一般化可能である。