[論文レビュー] Slow Manifolds for Multi-Time-Scale Stochastic Evolutionary Systems

Hongbo Fu, Xianming Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元の多時定数確率的進化系に対して、リャプノフ・ペロン法を用いて、指数的追従性を持つ確率的不変多様体の存在を確立する。ε → 0 のとき、この多様体は、削減系の長期的ダイナミクスを捉える遅い多様体に収束することを証明しており、これには、結合された放物型-放物型および放物型-放物型SPDEへの応用が含まれる。

ABSTRACT

This article deals with invariant manifolds for infinite dimensional random dynamical systems with different time scales. Such a random system is generated by a coupled system of fast-slow stochastic evolutionary equations. Under suitable conditions, it is proved that an exponentially tracking random invariant manifold exists, eliminating the fast motion for this coupled system. It is further shown that if the scaling parameter tends to zero, the invariant manifold tends to a slow manifold which captures long time dynamics. As examples the results are applied to a few systems of coupled parabolic-hyperbolic partial differential equations, coupled parabolic partial differential-ordinary differential equations, and coupled hyperbolic-hyperbolic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 広範な時間スケールの隔たりを持つ無限次元確率的系の長期的ダイナミクスを解析すること。
• 結合された高速・低速SPDEにおける、高速運動を排除する確率的不変多様体の存在を確立すること。
• スケーリングパラメータ ε が 0 に近づくにつれて、この多様体が漸近的に遅い多様体に近づくことを示すこと。
• 加法的ノイズおよび非マルコフ型ノイズ構造を持つ確率的系への不変多様体理論の拡張すること。
• 不変多様体理論を用いて、複雑なマルチスケールSPDEの厳密な簡略化フレームワークを提供すること。

提案手法

• 結合された高速・低速SPDE系に対して、リャプノフ・ペロン法を適用し、確率的不変多様体を構成する。
• 線形作用素 A の減衰率に対して、高速成分の非線形性のリプシッツ定数が小さくなるように条件を課す。
• 局所リプシッツ非線形性への応用を可能とするために、動的を有界集合に制限するカットオフ技術を用いる。
• 不変多様体を、遅い変数から速い変数への確率関数 h^ε(ω, Y₀) のグラフとして定義する。
• ノイズを加法的ブラウン運動としてモデル化した確率的力学系フレームワークを用いる。
• 時間に指数的に収束することを示すことで、軌道が多様体に一様に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元の結合された高速・低速確率的進化方程式系に対して、確率的不変多様体が存在するか？
• RQ2 この多様体が、十分に小さい ε > 0 に対して指数的追従性を有することが示せるか？
• RQ3 時間スケール分離パラメータ ε が 0 に近づくと、不変多様体はどのように変化するか？
• RQ4 極限的な対象は、長期的ダイナミクスを捉える遅い多様体として特定できるか？
• RQ5 局所リプシッツ非線形性を持つ系への理論の拡張は可能か？

主な発見

• 十分に小さい ε > 0 に対して、指数的追従性を持つ確率的不変多様体 M^ε が存在し、これにより全系が次元の低い有効方程式に簡略化される。
• M^ε は ε → 0 のとき、系の長期的挙動を支配する遅い多様体 M⁰ に収束する。
• 高速非線形性のリプシッツ定数が線形作用素 A の減衰率より小さいという条件下で、不変多様体の存在が保証される。
• 本手法は、具体的な例を通じて、結合された放物型-放物型、放物型-ODE、および放物型-放物型SPDE系に適用可能である。
• 局所リプシッツ非線形性に対しては、カットオフ手順により局所的確率的不変多様体が存在し、有界領域内で有効である。
• M^ε が M⁰ に収束することは、確率的力学系の漸近的挙動の意味で確立されており、時間に一様に収束する。