[論文レビュー] Slow to fast infinitely extended reservoirs for the symmetric exclusion process with long jumps

Cédric Bernardin, Patrícia Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、有限区間における長距離跳躍を伴う対称的排除過程と、無限に拡張されたバッチに接続された系を考察する。バッチとの相互作用率は $\kappa N^{-\theta}$ に比例する。$\gamma > 2$（有限分散）の場合、流体力学的極限は、$\theta$ に応じてディリクレ型、ロビン型、ノイマン型に移行する境界条件を持つ反応拡散方程式を導く。これにより、$\theta$ の変化に伴い巨視的挙動に相転移が生じることが明らかになる。

ABSTRACT

We consider an exclusion process with long jumps in the box $Λ\_N=\{1, \ldots,N-1\}$, for $N \ge 2$, in contact with infinitely extended reservoirs on its left and on its right. The jump rate is described by a transition probability $p(\cdot)$ which is symmetric, with infinite support but with finite variance. The reservoirs add or remove particles with rate proportional to $κN^{-θ}$, where $κ>0$ and $θ\in\mathbb R$. If $θ>0$ (resp. $θ<0$) the reservoirs add and fastly remove (resp. slowly remove) particles in the bulk. According to the value of $θ$ we prove that the time evolution of the spatial density of particles is described by some reaction-diffusion equations with various boundary conditions.

研究の動機と目的

• 長距離跳躍を伴う排除過程の巨視的流体力学的挙動に及ぼすバッチ結合強度（$\theta$ で制御）の影響を理解すること。
• 遅い境界を持つ最近接項系に関する先行研究を、無限分散を有する長距離跳躍過程に拡張すること。
• 巨視的極限において、$\theta$ の値に応じて現れる異なる境界条件（ディリクレ型、ロビン型、ノイマン型）を同定すること。
• 無限に拡張されたバッチと長距離ダイナミクスを有するモデルに対して、$\gamma > 2$ の下で流体力学的極限を確立すること。

提案手法

• 対称的かつ重たい尾部を有する跳躍遷移率 $p(z) \sim |z|^{-1-\gamma}$ を用い、$\gamma > 2$ により有限分散を保証する。
• 境界におけるバッチが粒子を注入または除去する割合は $\kappa N^{-\theta}$ であり、$\theta \in \mathbb{R}$ を用いて結合強度を制御可能である。
• 相対エントロピー法と弱解の技法を用いて流体力学的極限を導出し、粒子密度分布の時間発展を分析する。
• 分析により、$\theta$ に基づく5つの異なる巨視的相が特定され、それぞれが制限された反応拡散方程式における異なる境界条件に対応する。
• 証明は、経験的測度の収束とPDEの解への弱収束に依拠し、コーシー＝シュワルツと密度に関する推論による精密な推定を含む。
• 過程の生成作用素をバッチ部と境界部に分解し、粒子交換の分析と制限方程式の導出を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に拡張されたバッチの結合強度 $\theta$ が、長距離跳躍を伴う対称的排除過程の巨視的流体力学的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 流体力学的極限において、どのような境界条件（ディリクレ型、ロビン型、ノイマン型）が現れ、それらは $\theta$ にどのように依存するか？
• RQ3 有限分散を有する長距離跳躍が存在する場合、最近接項モデルに比べて相構造がどのように変化するか？
• RQ4 無限に拡張されたバッチと長距離ダイナミクスを有する系について、対称的かつ有限分散跳躍率の下で流体力学的極限を厳密に確立できるか？
• RQ5 パrameter $\gamma$ は、制限されたPDEの性質とそれらに続く境界条件を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $\theta \in (2 - \gamma, 1)$ の場合、流体力学的極限は、この区間内での $\theta$ に依存しないディリクレ境界条件を有する熱方程式となる。
• $\theta = 1$ で、強いバッチ結合により反応拡散方程式にロビン型境界条件への遷移が生じる。
• $\theta > 1$ の場合、境界条件はノイマン型となり、境界での粒子保存を示す。
• $\theta < 2 - \gamma$ の場合、境界効果が支配的となり、異なる巨視的挙動を示し、特徴的な解の分布を生じる。
• 流体力学的極限は、反応拡散方程式の弱解として特徴づけられ、エネルギー推定と密度に関する議論により一意性が確立される。
• 分析により、$\theta$ の変化に伴い巨視的挙動が相転移を示すことが確認され、$\theta$ の値に基づく5つの明確な相が同定された。