[論文レビュー] Slowly synchronizing automata with zero and incomplete sets

Elena V. Pribavkina|ArXiv.org|Jul 27, 2009

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自由モノイドにおける不完全集合の組合せ的性質を用いて、サイズが2以上の任意のアルファベット上でゼロを有する$n$状態の決定的オートマトンの族を構築する。言語$X^*$における不完全可能語と導出オートマトン$\widehat{\mathcal{F}}(X)$における同期語との関連を確立することで、最短同期語の長さが$\frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} - 1$であるようなこのようなオートマトンの存在を証明する。これは、二進アルファベットの場合に既知の最高の成長率を達成するが、文字数に制限がない任意のアルファベットへと拡張可能である。

ABSTRACT

Using combinatorial properties of incomplete sets in a free monoid we construct a series of n-state deterministic automata with zero whose shortest synchronizing word has length n^2/4+n/2-1.

研究の動機と目的

• 固定された$m$文字のアルファベット上で、$n$状態のゼロを有する同期可能オートマトンの最短同期語の最大長を特定すること。
• 従来は二進アルファベットに限定されていた構成を、二進以外の状況へと拡張し、最短リセット語の$\Theta(n^2)$の最適成長率を損なわずに維持すること。
• 形式的言語における不完全可能語と、ゼロを有する決定的オートマトンにおける同期語との間の体系的な関連を確立すること。
• 構築されたオートマトンが「適切」であることを保証すること、すなわち、すべての入力文字が最短同期語に現れるようにすること。これは、意味のある複雑度の上限を導くために不可欠である。

提案手法

• 不完全集合$X \subset A^*$を、$X^*$の任意の語の部分語として現れない非空語が存在する集合として定義し、その組合せ的性質を研究する。
• 語$X$の接頭語と接尾語に基づいて遷移を定義する半花形オートマトン$\mathcal{F}(X)$を構築し、それをゼロ状態を追加することで決定的オートマトン$\widehat{\mathcal{F}}(X)$に拡張する。
• 語$w$が$X^*$において不完全可能であることは、$\widehat{\mathcal{F}}(X)$を同期するための必要十分条件であることを用いて、言語の不完全性とオートマトンの同期性との直接的対応関係を確立する。
• $u$を$A$のすべての文字を含む長さ$k$の非境界語とするとき、$X = A^k \setminus \{u\}$として、決定的で一意なゼロ状態を有するオートマトン$\widehat{\mathcal{F}}(k,u)$を構築する。
• $\widehat{\mathcal{F}}(k,u)$の最短同期語が$w = (ua)^{k-1}u$であり、長さが$k^2 + k - 1$であることを証明し、$n = 2k$状態が得られることを示す。
• $k > |A|$のとき、$u$が$A$のすべての文字を含むため、$\widehat{\mathcal{F}}(k,u)$は適切であることが示され、すべての文字が最短リセット語に現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つより多い文字数のアルファベット上でも、$n$状態のゼロを有するオートマトンにおける最短同期語の$\Theta(n^2)$下界を達成可能か。特に、アルファベットのサイズを2に制限しないで実現可能か。
• RQ2 形式的言語における不完全可能語と、ゼロを有する決定的オートマトンにおける同期語との間の構造的関係は何か。
• RQ3 二進アルファベットを超えて、最短リセット語長の最適$\Theta(n^2)$成長率を保ちながら、このようなオートマトンの構成を一般化する方法は何か。
• RQ4 どのような条件下で、得られるオートマトンが「適切」になるか。すなわち、すべての入力文字が最短同期語に現れるか。
• RQ5 この構成は、自由モノイドにおける不完全集合と非境界語の組合せ的性質から導出可能か。

主な発見

• 任意のアルファベットサイズ$|A| \geq 2$と任意の整数$k > |A|$に対して、$n = 2k$として、最短同期語の長さが$\frac{n^2}{4} + \frac{n}{2} - 1$であるような適切な$n$状態の同期可能オートマトン（ゼロを有する）が存在する。
• この構成は、従来の二進アルファベットに限った結果を任意のアルファベットへと一般化し、最短リセット語長の$\Theta(n^2)$成長率を同じく達成している。
• $\widehat{\mathcal{F}}(k,u)$の最短同期語は$w = (ua)^{k-1}u$であり、$u$は$A$のすべての文字を含む長さ$k$の非境界語である。この語の長さは$k^2 + k - 1$である。
• $\widehat{\mathcal{F}}(k,u)$は決定的で、一意なゼロ状態を有しており、同期化が一意かつ明確に定義されている。
• 構成により、オートマトンは適切であることが保証されている。これは、非境界語$u$が$A$のすべての文字を含むため、すべての文字が最短同期語に現れるからである。
• 主な洞察は、$X^*$における不完全可能語と$\widehat{\mathcal{F}}(X)$における同期語との同値性にあり、これにより組合せ的言語理論を用いて、同期化が難しいオートマトンを構築できる。