[論文レビュー] Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations

János Pach, Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特定の小さな(2,s)-彩色可能なグラフ—具体的には10頂点の二部グラフ(K*₅,₅)、70頂点のスプリットグラフ、および10頂点の(2,2)-彩色可能なグラフ—が障害数1より大きいことを確立し、それらが単一の障害で表現できないことを示している。視界と凸包に関する幾何学的および組合せ的議論を用いて、これらのグラフに対して1障害表現が存在しないことを証明し、以前の結果を精緻化し、最小非1障害グラフに関する予想を解決した。

ABSTRACT

An obstacle representation of a graph G is a set of points on the plane together with a set of polygonal obstacles that determine a visibility graph isomorphic to G. The obstacle number of G is the minimum number of obstacles over all obstacle representations of G. Alpert, Koch, and Laison gave a 12-vertex bipartite graph and proved that its obstacle number is two. We show that a 10-vertex induced subgraph of this graph has obstacle number two. Alpert et al. also constructed very large graphs with vertex set consisting of a clique and an independent set in order to show that obstacle number is an unbounded parameter. We specify a 70-vertex graph with vertex set consisting of a clique and an independent set, and prove that it has obstacle number greater than one. This is an ancillary document to our article in press. We conclude by showing that a 10-vertex graph with vertex set consisting of two cliques has obstacle number greater than one, improving on a result therein.

研究の動機と目的

• アルバートら(2013)の予想を解決すること—10頂点の二部グラフ(K*₅,₅)の障害数は1より大きい。
• 92,000以上の頂点を要する以前の構成より顕著に小さい70頂点の(2,1)-彩色可能なグラフで、障害数が1より大きいものを構成すること。
• 10頂点の(2,2)-彩色可能なグラフが障害数1より大きいことを示し、これにより、同種のグラフに関する以前の結果を精緻化すること。

提案手法

• 凸包と視界順序に基づく幾何的視界議論を用いて、障害表現を分析した。
• 青頂点の周囲に領域C_Aを定義し、非辺に対する赤頂点の位置を分類した。
• 集合[3]の2要素部分集合から自身への写像fに関する順列および固定点解析を適用し、1障害仮定の下で矛盾を導いた。
• 青頂点集合(B)の凸包上の位置に関する場合分けを実施し、Bが凸包上にある場合とそうでない場合を区別した。
• 凸四角形および凸五角形の構成を用いて、視界経路が交差する場合に複数の障害が必要であることを示した。
• 外部点からの視界順序の推移性を活用し、障害配置に関する制約を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 10頂点の二部グラフK*₅,₅は1障害表現を許容するか？ もし許容しないのであれば、その障害数は何か？
• RQ2 以前に知られていたものより顕著に小さい(2,1)-彩色可能なグラフで、障害数が1より大きいものは構成可能か？
• RQ3 (2,2)-彩色可能なグラフで障害数が1より大きいものは存在するか？ また、そのようなグラフは以前の研究で得られた20頂点の例よりも小さくできるか？

主な発見

• 10頂点の二部グラフK*₅,₅の障害数は正確に2であり、これは単一の障害では表現できないことを確認した。
• 70頂点の(2,1)-彩色可能なグラフが障害数1より大きいことを構成し、92,000以上の頂点を要する以前の構成を改善した。
• 10頂点の(2,2)-彩色可能なグラフが障害数1より大きいことが示され、以前の20頂点の例を精緻化した。
• 証明は、任意の1障害表現が凸包および視界経路の分析により矛盾を生じることを示すことに依拠している。
• 赤頂点が青頂点クラスタに対して取りうるすべての配置を尽くして検証することで、10頂点の(2,2)-彩色可能なグラフに対して1障害表現が存在しないことを明確にした。
• アルバートら(2013)の予想—障害数が1より大きい最小の二部グラフのサイズ—を解決した。