[論文レビュー] Small asymptotic translation lengths of pseudo-Anosov maps on the curve complex

Eiko Kin, Hyunshik Shin|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、第一ベッチ数 ≥ 2 を持つ双曲的ファイバード3次元多様体において、オイラー特徴標数が無限大に近づく表面での擬等長モノドロミーの列が存在することを確立している。そのようなモノドロミーの曲線複体上の漸近的移動長は、$1/|\chi(R_n)|^2$ と正確に減少する。この構成により、Gadre–Tsaiの閉じた表面に関する結果が再証明され拡張され、同じ漸近的スケーリングがハイパーエリプティック写像類群およびハイパーエリプティックハンドルボディ群に対しても成立することが示された。

ABSTRACT

Let $M$ be a hyperbolic fibered 3-manifold with $b_1(M) \geq 2$ and let $S$ be a fiber with pseudo-Anosov monodromy $ψ$. We show that there exists a sequence $(R_n, ψ_n)$ of fibers and monodromies contained in the fibered cone of $(S,ψ)$ such that the asymptotic translation length of $ψ_n$ on the curve complex $\mathcal{C}(R_n)$ behaves asymptotically like $1/|χ(R_n)|^2$. As applications, we can reprove the previous result by Gadre--Tsai that the minimal asymptotic translation length of a closed surface of genus $g$ asymptotically behaves like $1/g^2$. We also show that this also holds for the cases of hyperelliptic mapping class group and hyperelliptic handlebody group.

研究の動機と目的

• ファイバード3次元多様体 $M$ に対して $b_1(M) \geq 2$ を満たす場合、曲線複体上での擬等長写像の最小漸近的移動長の漸近的挙動を確立すること。
• Gadre–Tsaiの結果 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ を3次元多様体トポロジーからの幾何的構成を用いて再証明し、拡張すること。
• ハイパーエリプティック写像類群およびハイパーエリプティックハンドルボディ群に対しても、同じ漸近的スケーリング $1/|\chi|^2$ が成り立つことの証明。
• 表面の $\mathbb{Z}$-被覆における上昇を用いて、$1/|\chi(R_n)|^2$ の割合で移動長が減少する擬等長写像クラスの明示的列の構成。

提案手法

• ファイバード3次元多様体 $M$ のファイバー $S$ のモノドロミー $\psi$ を、固定された原始的コhomology類 $\xi_0$ に対応する $\mathbb{Z}$-被覆 $\widetilde{S}$ に上昇させる。
• デッキ変換 $h$ を用いて、$R_n = \widetilde{S}/\langle h^n \widetilde{\psi} \rangle$ という表面の列を構成し、$|\chi(R_n)| \asymp n$ を示す。
• 表面 $R_n$ 上のモノドロミー $\psi_n$ が擬等長であること、およびその漸近的移動長が $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ を満たすことを証明する。
• Masur–Minsky や Bestvina–Handel のテクニックを用い、ネスト補題とトレイントラック技法を用いて移動長の下界を評価する。
• 上界を確立するため、ある $m \asymp |\chi(R_n)|^2$ に対して $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$ を満たす曲線 $\alpha$ を構成し、$\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$ を示す。
• この構成をHilden群およびハンドルボディ群に適用するため、ブレードを上昇させ、5ブレードの写像類のモナドロミーを用いて必要なファイバード3次元多様体構造を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体トポロジーにおける幾何的構成を用いて、$L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ の漸近的スケーリングを再導出できるか？
• RQ2 写像類群の部分群、例えばハイパーエリプティック写像類群やハイパーエリプティックハンドルボディ群に対しても、$1/g^2$ スケーリングが成り立つか？
• RQ3 第一ベッチ数 $b_1(M) \geq 2$ を持つファイバード3次元多様体における最小漸近的移動長の漸近的挙動は何か？
• RQ4 ファイバード3次元多様体内に、$\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ を満たす擬等長写像の列を構成できるか？
• RQ5 $\mathbb{Z}$-被覆の構造と $h^n \widetilde{\psi}$ の曲線複体上での作用が、移動長の減少にどのように関係するか？

主な発見

• 任意の双曲的ファイバード3次元多様体 $M$ に対して、$b_1(M) \geq 2$ を満たす場合、$|\chi(R_n)| \asymp n$ かつ $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ を満たすファイバー $(R_n, \psi_n)$ の列が存在する。
• この構成により、Gadre–Tsaiの結果 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ が、幾何的・3次元多様体論的メソッドを用いて再証明された。
• ハイパーエリプティック写像類群 $\mathcal{H}(S_g)$ に対しても、同じ漸近的スケーリング $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ が成り立ち、$g \geq 3$ のとき $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(S_g)) \leq 1/(g^2 - 2g - 1)$ が成り立つ。
• この結果はハイパーエリプティックハンドルボディ群 $\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)$ に対しても拡張され、ある定数 $C > 0$ に対して $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)) \leq C/g^2$ が成り立つ。
• 上界は、$m \asymp |\chi(R_n)|^2$ に対して $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$ を満たす曲線 $\alpha$ を構成することで確立され、$\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$ を示す。
• この構成は、5ブレードを $\mathbb{Z}$-被覆に上昇させ、$h^n \widetilde{\psi}$ による商を取ることに依存しており、穴を持つ表面と、所望の漸近的挙動を満たすモノドロミーを生成する。