[論文レビュー] Small cancellations over relatively hyperbolic groups and embedding theorems

Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、相対的に双曲的群への小崩壊理論の一般化を試み、可算群の新たな埋め込み定理を可能にする。任意の可算なねじれなし群が、正確に2つの共役類をもつ2生成の群に埋め込まれることを証明しており、これは、2つの共役類をもつ（ℤ/2ℤを除く）有限生成群の存在について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We generalize the small cancellation theory over hyperbolic groups developed by Olshanskii to the case of relatively hyperbolic groups. This allows us to construct infinite finitely generated groups with exactly $n$ conjugacy classes for every $n\ge 2$. In particular, we give the affirmative answer to the well--known question of the existence of a finitely generated group $G$ other than $\mathbb Z/2\mathbb Z$ such that all nontrivial elements of $G$ are conjugate.

研究の動機と目的

• 通常の双曲的群から相対的に双曲的設定へ小崩壊理論を拡張すること。
• ℤ/2ℤを除く、正確に2つの共役類をもつ有限生成群が存在するかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 任意のn ≥ 2に対して、正確にn個の共役類をもつ、所望の共役類構造を備えた有限生成群を構成すること。
• 任意の可算群が、2生成の語的に完全な群に埋め込まれることを示し、必要に応じてねじれなし性を保つこと。
• このような群が双曲的群の極限として生じえないことを確立し、構造的差異を強調すること。

提案手法

• 著者の先行研究の技術を用いて、オリシュャンスキーの双曲的群上の小崩壊理論を相対的に双曲的群へ一般化する。
• 一般化された小崩壊理論を応用し、HNNに類似した構成と制御された図式的解析を用いて群の拡張を構成する。
• 重なりを制御し、小崩壊条件を満たすために、連接部分図と測度（例：(Π,Γ,i,*)-測度）を用いる。
• 図式におけるR-セルの数に関する帰納的議論を用い、連接グラフに複数の辺やループが存在する場合に矛盾を導く。
• 準測地的性質と長さの上限（例：l(u) ≤ λ⁻¹(3ε + c)）を用いて、連接測度を制限し、小崩壊を強制する。
• 連接グラフΦ_Mの構造とその辺・頂点の性質を用い、最小性を強制し、複数の辺やループの存在を仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小崩壊理論は、双曲的群から相対的に双曲的群へ拡張可能か？
• RQ2 ℤ/2ℤを除き、正確に2つの共役類をもつ有限生成群が存在するか？
• RQ3 任意の可算群は、同じ位数をもつ元が共役となる2生成の群に埋め込めるか？
• RQ4 任意の可算群は、有限生成の語的に完全な群に埋め込めるか？
• RQ5 正確にn個の共役類（n ≥ 2）をもつ有限生成群は、双曲的群の極限として構成可能か？

主な発見

• 任意の可算群は、同じ位数をもつ元が共役であり、有限位数の集合が保存される2生成の群に埋め込まれる。
• 任意の可算なねじれなし群は、正確に2つの共役類をもつ2生成のねじれなし群に埋め込まれる。
• 正確に2つの共役類をもつ、互いに同型でない2生成のねじれなし群の非可算族が存在する。
• 任意のn ≥ 2に対して、正確にn個の共役類をもつ、互いに同型でない有限生成群の非可算族が存在する。
• 正確に2つの共役類をもつ（ℤ/2ℤを除く）有限生成群は、双曲的群の極限として構成できない。
• 任意の可算群は、2生成の語的に完全な群に埋め込まれ、もとの群がねじれなしの場合、そのターゲットもねじれなしに選べる。