[論文レビュー] Small complete caps from nodal cubics

Nurdagül Anbar, Daniele Bartoli+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_q$ 上の特異な三次曲線から導かれる二重被覆弧を用いて、$N \equiv 0 \pmod{4}$ であるアフィン空間 $AG(N,q)$ における最小の既知の完全被覆体を構成する。$m = m_1m_2$ で、$m_1, m_2$ が $q-1$ の互いに素な因子であり、$(m,6)=1$ かつ $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ であるとき、このような弧は、サイズが $\frac{(m_1+m_2)(q-1)}{m_1m_2} q^{(N-2)/2}$ 未満の完全被覆体を生成することが示され、無限に多くの $q$ に対して従来の境界を著しく改善する。この構成は、特異な三次曲線の有理点群の因子群における最大の 3-独立部分集合に依存している。

ABSTRACT

Bicovering arcs in Galois affine planes of odd order are a powerful tool for constructing complete caps in spaces of higher dimensions. In this paper we investigate whether some arcs contained in nodal cubic curves are bicovering. For $m_1$, $m_2$ coprime divisors of $q-1$, bicovering arcs in $AG(2,q)$ of size $k\le (q-1)\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}$ are obtained, provided that $(m_1m_2,6)=1$ and $m_1m_2

研究の動機と目的

• $N \equiv 0 \pmod{4}$ である高次元アフィン空間 $AG(N,q)$ におけるより小さい完全被覆体を、特に $q$ が奇数のとき構成すること。
• 有理点が $\mathbb{F}_q$ 上の特異な三次曲線上にある弧が、高次元被覆体への昇格に必要な重要な条件である二重被覆性を満たすかどうかを調査すること。
• 特異な三次曲線の有理点群の合成指数部分群 $K$ を活用することで、既存の完全被覆体の構成を改善すること。
• 最大の $3$-独立部分集合が $G/K$ に存在し、$m = m_1m_2$, $(m_1,m_2)=1$, $(m,6)=1$, および $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ を満たすとき、それらが二重被覆弧を生成することを確立すること。
• 得られる被覆体が、無限に多くの $q$ に対して従来の $q^N/3$ の境界よりも著しく小さいサイズに達することを示すこと。

提案手法

• 有理点の群構造を活用し、非特異点群 $G$ の部分群 $K$ を、$G$ における指数 $m$ にとる。
• 因子群 $G/K$ における最大の 3-独立部分集合に対応する $K$ の陪集合の和集合として二重被覆弧を構成し、3点が一直線上に来ず、外部の点が少なくとも2本の弦で被覆されるように保証する。
• 既存の研究から得られた十分条件を用い、代数幾何学および関数体論を応用して、$m = m_1m_2$, $(m_1,m_2)=1$, $(m,6)=1$, および $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ のとき、このような弧が二重被覆であることを検証する。
• 昇格法を適用：$AG(2,q)$ におけるサイズ $k$ の二重被覆弧は、$N \equiv 0 \pmod{4}$ のとき、$AG(N,q)$ におけるサイズ $k q^{(N-2)/2}$ の完全被覆体を生成する。
• アーベル群における最大の 3-独立部分集合に関する既知の結果を用い、特に $G/K \cong \mathbb{Z}_{m_1} \times \mathbb{Z}_{m_2}$ の場合に、サイズが $m_1 + m_2$ 未満の部分集合を構成することで、弧のサイズを最小化する。
• 制約条件 $m_1 m_2 \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ および $(m_1 m_2, 6) = 1$ の下で、$\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ を最小化するように $m_1, m_2$ を最適化することで、定量的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理点群 $G$ の部分群 $K$ の指数 $m$ について、特定の群論的条件を満たすとき、$\mathbb{F}_q$ 上の特異な三次曲線上に含まれる弧が二重被覆であるかどうか？
• RQ2 $m = m_1 m_2$ で $m_1, m_2$ が互いに素であり、$m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ であるとき、$AG(2,q)$ における二重被覆弧の最小サイズは何か？ その弧が $N \equiv 0 \pmod{4}$ の $AG(N,q)$ における完全被覆体に昇格可能であるか？
• RQ3 $q$ や $h$（$q = p^h$ とすると）が大きい場合、得られる完全被覆体のサイズは、従来の構成と比べてどの程度異なるか？
• RQ4 $q$ や $q-1$ の因数分解にどのような条件が満たされると、$\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ の比が $1/3$ や $2p/q^{1/8}$ より著しく小さくなるか？
• RQ5 素数の指数ではなく、合成数の指数 $m = m_1 m_2$ を用いることで、二重被覆弧のサイズ、ひいては高次元における完全被覆体のサイズを改善できるか？

主な発見

• $m = m_1 m_2$ で、$m_1, m_2$ が $q-1$ の互いに素な因子、$(m,6)=1$、$m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ を満たすとき、$G/K$ における最大の 3-独立部分集合に対応する陪集合の和集合は、$AG(2,q)$ におけるサイズが $\frac{(m_1 + m_2)(q - 1)}{m_1 m_2}$ 未満の二重被覆弧を形成する。
• この構成により、すべての $N \equiv 0 \pmod{4}$ かつ $N \geq 4$ に対して、$AG(N,q)$ における完全被覆体がサイズ $\frac{(m_1 + m_2)(q - 1)}{m_1 m_2} q^{(N-2)/2}$ 未満で構成され、これは無限に多くの $q$ に対して既知で最小のサイズである。
• $p$ が大きく、$m = m_1 m_2$ で $m_1, m_2$ が互いに素で $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ であるとき、比 $\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ は $1/3$ や $2p/q^{1/8}$ より著しく小さくなることができ、これにより被覆体のサイズが改善される。
• $h \leq 8$ の場合、$p-1$ が $m < \sqrt[4]{p}/3.5$ で $(m,6)=1$ となる合成因子 $m$ を持つとき、従来の $q^N/3$ の境界を上回る。このとき、被覆体のサイズは約 $\frac{2^{s_2} + 2^{s_1}3^k}{q^{1/8}} q^{N/2 - 1/8}$ に達する。
• $h > 8$、特に $q = p^{12}$ で $p \equiv 1 \pmod{12}$ かつ $(p^2 + 1)/2$ が合成数である場合、構成はサイズが $2q^{N/2}/p$ より小さい被覆体を達成し、従来の最良境界 $2q^{N/2}/p^{\lfloor(\lceil h/4\rceil - 1)/2\rfloor}$ よりも改善する。
• 楕円曲線および尖点曲線に対する既存の結果を一般化し、合成数 $m$ を許容することで、素数 $m$ のときの $m/3$ の境界よりも小さい最大の 3-独立部分集合を実現できる。