[論文レビュー] Small data blow-up of L^{2}-solution for the nonlinear Schrödinger equation without gauge invariance

Masahiro Ikeda, Yuta Wakasugi|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、非線形シュレーディンガー方程式 $ i\partial_t u + \Delta u = \lambda |u|^p $ が $ \mathbb{R}^n $ 上で $ 1 < p \leq 1 + \frac{2}{n} $ を満たす非ゲージ不変型のべき乗非線形項を有する場合、初期データが $ L^2 $ に属する小規模な場合でも、初期データの実部または虚部、および $ \lambda $ の虚部または実部に符号条件が満たされれば、$ L^2 $ ノルムの有限時刻 blow-up が生じることを確立している。この結果は、ゲージ不変型の場合のグローバル存在性とは対照的に、データのスケール制限なしに成立する。

ABSTRACT

We study the initial value problem for the nonlinear Schrödinger equation. We will prove that the blow-up of the L^{2}-norm of solutions with suitable initial data. We impose a condition related to the sign of the data but put no restriction on their size.

研究の動機と目的

• 非ゲージ不変型非線形項 $ \lambda |u|^p $ を有する非線形シュレーディンガー方程式の $ L^2 $ 解における有限時刻 blow-up の存在を調査すること。
• 局所的 well-posedness が成り立つにもかかわらず、$ L^2 $ 初期データが小さくても $ L^2 $ ノルムに blow-up が生じるかを特定すること。
• 臨界および亜臨界領域における非ゲージ不変型とゲージ不変型非線形項の動的差を明確にすること。
• 非ゲージ不変型非線形項が、ゲージ不変型の場合と同様に長距離効果のように振る舞うという期待に反して、否定的な答えを与えること。

提案手法

• 著者たちは、自由伝搬作用素 $ U(t) = e^{it\Delta} $ を用いて、NLS に関連する積分方程式の弱解を定義する。
• 適切に選ばれた指数を用いた Strichartz 評価および Hölder の不等式を用いて、$ L^r_t L^\rho_x $ 空間における非線形項を制御する。
• 重要なステップとして、解の非同次部を扱うために時刻依存の近似列 $ \{u_{2,k}\} $ を導入し、$ L^\infty_t L^2_x $ での収束を示す。
• 証明は部分積分と近似解が真の解に $ L^\infty_t L^2_x $ および $ L^r_t L^\rho_x $ で収束することに依存する。
• blow-up は背理法によって示され、グローバル存在を仮定すると初期データおよび $ \lambda $ の符号条件と矛盾する。
• 収束および blow-up 評価に不可欠な時間重み付き推定式 $ \alpha = \frac{n}{4}\left(1 + \frac{4}{n} - p\right) > 0 $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゲージ不変型 NLS において $ p \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき、$ L^2 $ 初期データが小さくても、$ L^2 $ ノルムに有限時刻 blow-up が生じるか？
• RQ2 非ゲージ不変型非線形項 $ \lambda |u|^p $ は、ゲージ不変型の $ \lambda_0 |u|^{p-1}u $ と比較して、$ L^2 $ ノルムの進化にどのように影響を与えるか？
• RQ3 非ゲージ不変型の場合の $ L^2 $ ノルムの振る舞いは、ゲージ不変型の場合に見られる長距離効果と整合的か？
• RQ4 初期データおよび $ \lambda $ にどのような符号条件が blow-up を保証するか？また、この条件はデータのスケールに依存するか？

主な発見

• $ 1 < p \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき、初期データ $ f \in L^2 $ が符号条件 $ f_1 \in L^1(\mathbb{R}^n), \lambda_2 \int_{\mathbb{R}^n} f_1(x) dx > 0 $ または $ f_2 \in L^1(\mathbb{R}^n), \lambda_1 \int_{\mathbb{R}^n} f_2(x) dx < 0 $ を満たすならば、解の $ L^2 $ ノルムは有限時刻に blow up する。
• 最大存在時刻 $ T_m $ は有限であり、$ \lim_{t \to T_m^-} \|u(t)\|_{L^2} = +\infty $ となる。これは $ \|f\|_{L^2} $ がどれほど小さくても成立する。
• この結果は初期データのスケール制限なしに成立するが、これは既知の blow-up 結果（大規模データを要するもの）とは対照的である。
• blow-up のメカニズムは非ゲージ不変型非線形項に起因し、$ L^2 $ ノルムが保存されない非保存的進化を引き起こす。ゲージ不変型では $ L^2 $ ノルムが保存されるのとは対照的である。
• 証明は時間重み付き Strichartz 評価 $ \alpha > 0 $ に依存しており、これは近似列の収束および blow-up 評価に不可欠である。
• この結果は、非ゲージ不変型非線形項が、ゲージ不変型の場合と同様に長距離効果として振る舞うとは限らないことを示している。