[論文レビュー] Small Dehn surgery and SU(2)

John A. Baldwin, Zhenkun Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元球面内の非自明な絡み目の3- Surgery が、非自明な SU(2) 表現をもつことを証明し、Kronheimer と Mrowka の予想を確認する。インスタントン Floer homology、genus-2 曲面の微分同相写像のシンプレクティック Floer homology（Smith の定理を経由）、および最近の階数付きオイラー特徴の結果を用いて、このような surgeries が SU(2)-アーベリアンでないことを示し、[3,5) の無限個のスロープへと結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that the fundamental group of 3-surgery on a nontrivial knot in the 3-sphere always admits an irreducible SU(2)-representation. This answers a question of Kronheimer and Mrowka dating from their work on the Property P conjecture. An important ingredient in our proof is a relationship between instanton Floer homology and the symplectic Floer homology of genus-2 surface diffeomorphisms, due to Ivan Smith. We use similar arguments at the end to extend our main result to infinitely many surgery slopes in the interval [3,5).

研究の動機と目的

• S³ 内の非自明な絡み目の 3- Surgery の SU(2) 表現に関する Kronheimer と Mrowka の予想を解決すること。
• 従来の範囲 [0,2] および r=4 に加え、Dehn Surgery の非-SU(2)-アーベリアン性を拡張すること。
• 任意の非自明な絡み目の 3- Surgery が SU(2)-アーベリアンでないことを確立し、非自明な SU(2) 表現の存在を示すこと。
• 高度な Floer homology 技法を用いて、[3,5) 内の無限個の Surgery スロープへと結果を一般化すること。
• genus-2 のインスタントン L-空間絡み目を特徴づけ、特定のレンズ空間の分岐二重被覆が Seifert フibrated でないことを証明すること。

提案手法

• Smith の定理を用いて、写像トーラスのインスタントン Floer homology と genus-2 曲面の微分同相写像のシンプレクティック Floer cohomology を関連付ける。
• フレームドインスタントン homology $I^{ \text{\#}}(S^3_0(K), \mu)$ を用いて、ファイブレーションのモノドロミーが固定点を持たない擬似-アノソフであることを示す。
• Baldwin–Hu–Sivek の二重周期的絡み目に関する結果を活用し、絡み目 $K$ が二重周期的であり、商が絡まず、自己自己連結数が 5 であることを示す。
• $S^3_3(K)$ を、レンズ空間 $L \cong L(3,2)$ に沿った原始的絡み目 $J$ に関する分岐二重被覆 $\Sigma(L,J)$ として表現する。
• すべての $SU(2)$ 表現で $J$ のミッドラインを $i$ に送るものは、有限巡回的像を持ち、これらは $\mathit{KHI}(L,J)$ の非退化生成元であることを証明する。
• Li–Ye の結果により、インスタントン homology と knot Floer homology の階数付きオイラー特徴が等しいことから、$\chi_{\mathrm{gr}}(\mathit{KHI}(L,J)) = t^{-1} + 1 + t^1$ を得て、$J$ が有理的 genus 0 かつファイバー外側であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S³ 内の任意の非自明な絡み目の 3- Surgery は SU(2)-アーベリアンでないか？
• RQ2 Dehn Surgery の非-SU(2)-アーベリアン性は、$r \in [0,2]$ および $r=4$ を超えて、$r=3$ を含む範囲へと拡張可能か？
• RQ3 $[3,5)$ 内で、非自明な絡み目の $r$-Surgery が SU(2)-アーベリアンでないようなスロープが無限個存在するか？
• RQ4 インスタントン homology と knot Floer homology の階数付きオイラー特徴は、絡み目の外側の位相にどのような制約を課えるか？
• RQ5 レンズ空間に沿った原始的絡み目の分岐二重被覆が、いつ Seifert フibrated であるか、またはそうでないかの条件は何か？

主な発見

• S³ 内の任意の非自明な絡み目の 3- Surgery は SU(2)-アーベリアンでないため、その基本群は非自明な SU(2) 表現をもつ。
• 結果は [3,5) の無限個のスロープへ拡張され、特に $p/q \in [3,4)$ で $23p - 9 \leq 80q \leq 25p + 9$、または $p/q \in [4,5)$ の場合に成立する。
• レンズ空間 $L(p,2q)$ 内の絡み目 $S(p,2q,10q)$ の genus は、$p/q \in [3,10/3)$ のとき $g(S(p,2q,10q)) = |20q - 6p - 2|$ であり、他の区間でも同様の式が成り立つ。
• 分岐二重被覆 $\Sigma(L,S)$ の第一ホモロジー群の位数は、$p/q \in [3,4)$ のとき $p$、$p/q \in (4,6)$ のとき $5p$ であり、後者の場合 $|H_1| = 5p$ である。
• もし $g(S(p,2q,10q)) \leq (p+1)/4$ ならば、$J$ は $S$ に同相であるため、$\Sigma(L,J)$ は Seifert フibrated であるが、これは非-SU(2)-アーベリアン仮定に反する。
• レンズ空間 $L(p,2q)$ 内の絡み目 $J$ のアレクサンダー多項式は、トーラス絡み目 $T_{5,d}$ のそれと等しく、$p/q \in [3,4)$ のとき $|\Delta_J(-1)| = 1$、$p/q \in (4,6)$ のとき $5$ である。