[論文レビュー] Small generators for S-unit groups of division algebras

(:Unkn) Unknown|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、数体上の中心単純除法代数のS単位群が、Sに有限で明示的に定義された場所の集合を含むとき、有界高さの元によって生成されることを証明する。ベース体の乗法的群におけるLenstraの結果を一般化し、著者らは数体および最大順序の判別式に依存する明示的な高さの上限を提示する。

ABSTRACT

© 2014, University at Albany. All rights reserved. Let k be a number field, suppose that B is a central simple division algebra over k, and choose any maximal order D of B. The object of this paper is to show that the group D^∗S of S-units of B is generated by elements of small height once S contains an explicit finite set of places of k. This generalizes a theorem of H. W. Lenstra, Jr., who proved such a result when B = k. Our height bound is an explicit function of the number field and the discriminant of a maximal order in B used to define its S-units.

研究の動機と目的

• 数体の乗法的群から中心単純除法代数の乗法的群へのS単位群の有界高さ生成元に関するLenstraの定理を拡張すること。
• S単位群が小さな高さの元によって生成されるように保証する有限で明示的に定義された場所の集合Sを特定すること。
• S単位群の生成元の高さに対する明示的な上界を導出すること。この上界は数体および除法代数内の最大順序の判別式に依存する。

提案手法

• 中心単純代数および最大順序の構造論を用いて、数体k上の除法代数BにおけるS単位群D∗Sを分析する。
• 代数的数論および数の幾何学の技法を適用し、S単位群内の生成元の高さを有界化する。
• S単位群が制御された高さの元によって生成されるように保証する有限な場所の集合Sを構成する。
• B内の固定された最大順序の判別式を用いて、高さの上限を明示的に定義する。
• S単位元は有限個の場所を除くすべての場所で単位元であるという事実を活用し、問題を有限生成アーベル群内の生成元の高さの有界化に還元する。
• k×に対するLenstraの手法を、除法代数単位元の非可換な設定に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の中心単純除法代数のS単位群は、十分に大きな場所の集合Sに対して、有界高さの元によって生成可能か？
• RQ2 このような生成元の高さに対する明示的な上限は何か？また、この上限は数体および最大順序の判別式にどのように依存するか？
• RQ3 数体の乗法的群に対するLenstraの結果は、除法代数の乗法的群へどのように拡張可能か？

主な発見

• 数体k上の中心単純除法代数BのS単位群D∗Sは、Sに特定の有限個の場所が含まれるとき、有界高さの元によって生成される。
• 高さの上限は、数体kおよびB内の固定された最大順序の判別式の関数として明示的に与えられる。
• この上限は、k×に対するLenstraの結果を除法代数単位元の非可換な場合に一般化する。
• 有界高さ生成を保証するための有限個の場所は明示的に構成されており、kおよび代数Bの算術に依存する。
• Sが指定された有限集合を含む限り、生成元の高さに対する一様な上限が確立される。