[論文レビュー] Small Locally Compact Linearly Lindelof Spaces

Kenneth Kunen|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、重みが $\aleph_\omega$ で、点 $p$ の性質が $\aleph_\omega$ であるコンパクトなハウスドルフ空間 $X$ を構成し、$p$ に異なる点の非可算列が収束しないようにする。これにより、$X \setminus \{p\}$ は線形的LindelöfではあるがLindelöfではないことが保証される。構成には逆極限のコンパクト空間、初等部分モデル、および良い超フィルターが用いられ、$p$ が弱 $P_{\aleph_n}$-点であることを保ちつつ、重みと位相的性質を維持する。

ABSTRACT

There is a locally compact Hausdorff space of weight aleph_omega which is linearly Lindelof and not Lindelof. This improves an earlier result, which produced such a space of weight beth_omega.

研究の動機と目的

• 重みが $\aleph_\omega$ で、点 $p$ の性質が $\aleph_\omega$ であるコンパクトなハウスドルフ空間 $X$ を構成し、$p$ に異なる点の非可算列が収束しないようにすること。
• $X \setminus \{p\}$ が線形的Lindelöfでかつ局所コンパクトだがLindelöfでないことを示し、線形的Lindelöフでないが小さな空間の例を提供すること。
• $\aleph_\omega$ がこのような空間における最小の非可算性質および重みであることを示し、線形的Lindelöフ位相の文脈での最小性を確立すること。
• 以前の $\beth_\omega$ を用いた結果を $\aleph_\omega$ に拡張するために、初等部分モデルと良い超フィルターを用いた逆極限構成を適用すること。

提案手法

• コンパクトなハウスドルフ空間 $X_n$ を用いた逆系統 $\langle X_n, \pi^{n+1}_n \rangle$ を構成し、$w(X_n) = \aleph_n$ となるようにし、補題4を用いた帰納的拡張を行う。
• 各 $p_n = \pi^\omega_n(p)$ が $X_n$ において弱 $P_{\aleph_n}$-点であるように保つため、$\aleph_n$ 上の良い超フィルターを構成に用いる。
• 初等部分モデル $M \prec H(\theta)$ を用いて、逆極限の重みを $2^{\aleph_n}$ から $\aleph_n$ に削減し、位相的性質を保つ。
• 自然な写像 $\Gamma: \beta\kappa \twoheadrightarrow \mathrm{st}({\mathcal{B}})$ を用いて、良い超フィルターを削減された空間 $\mathrm{st}({\mathcal{B}})$ に投影し、$\Gamma(x)$ が弱 $P_{\lambda^+}$-点のままであることを保証する。
• $\aleph_n^+$ と $\lambda$-被覆モデルの非Jónsson性を活用し、$\Gamma(x)$ が $\mathrm{st}({\mathcal{B}})$ の任意の小さな集合の閉包に属さないことを保証する。
• 補題3を用いて、逆極限 $X_\omega = \varprojlim X_n$ が要求される性質、重み、および収束条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $\aleph_\omega$ の線形的Lindelöフでない、局所コンパクトなハウスドルフ空間を構成できるか？
• RQ2 $\aleph_\omega$ はこのような空間における最小の非可算性質および重みであるか？
• RQ3 初等部分モデルと超フィルターの性質を用いて、$\beth_\omega$ から $\aleph_\omega$ への構成を適応可能か？
• RQ4 どのような集合論的仮定のもとで、コンパクト空間の点 $p$ が非可算列によって収束せず、高い性質と重みを保つことができるか？
• RQ5 良い超フィルターとJónsson基数は、商写像および初等部分モデルの下で弱 $P$-点性質を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、重みが $\aleph_\omega$ で、点 $p$ の性質が $\aleph_\omega$ であるコンパクトなハウスドルフ空間 $X$ を構成し、$p$ に異なる点の非可算列が収束しないことを満たす。これは定理1の条件を満たす。
• $X \setminus \{p\}$ は線形的Lindelöフでかつ局所コンパクトだがLindelöfでない。これは、小さな線形的LindelöフでないがLindelöfではない空間の存在を示す。
• 構成では、重みが $\aleph_n$ であるコンパクト空間 $X_n$ の逆極限 $X_\omega$ を用い、$w(X_\omega) = \aleph_\omega$ および $\chi(p,X_\omega) = \aleph_\omega$ を保証する。
• 初等部分モデルと良い超フィルターを用いることで、逆極限の重みを $2^{\aleph_n}$ から $\aleph_n$ に削減し、$p_n$ の弱 $P_{\aleph_n}$-点性質を保つ。
• 証明は、$\aleph_n^+$ と $\lambda$-被覆モデルの非Jónsson性に依存し、$\Gamma(x)$ が削減された空間 $\mathrm{st}({\mathcal{B}})$ において弱 $P_{\lambda^+}$-点であることを保証する。
• 結果として、以前の $\beth_\omega$ からの構成を $\aleph_\omega$ に一般化し、このような空間における最小の非可算重みおよび性質が $\aleph_\omega$ であることを示した。