[論文レビュー] Small orders of Hadamard matrices and base sequences

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、4n 階 Hadamard 行列が既知に存在する奇数の整数 n < 10,000 のリストを更新し、42 個の以前の「悪い」整数について Hadamard 行列の存在を示した。主な貢献は、最初の BS(40,39) 基底系列の構成であり、これにより長さ 79 の T-系列と OD(4d) (d=79) の正体が保証され、n=97 の場合が最初の未解決事例として解消された。

ABSTRACT

We update the list of odd integers n&lt;10000 for which an Hadamard matrix of order 4n is known to exist. We also exhibit the first example of base sequences BS(40,39). Consequently, there exist T-sequences TS(n) of length n=79. The first undecided case has the length n=97.

研究の動機と目的

• 4n 階 Hadamard 行列が既知に存在する奇数の整数 n < 10,000 のリストを更新すること。
• 42 個の以前の「悪い」整数（以前は検証不能とされた）を、新しい Hadamard 行列の構成によって「良い」整数に変換すること。
• 最初の BS(40,39) 基底系列の構成により、長さ 79 の T-系列の存在を確認すること。
• Hadamard 行列の予想における未解決ケースの数を減らし、特に n=97 のケースに焦点を当てること。

提案手法

• 対称会議行列に関する Mathon の定理を適用し、特定の素数次数の Hadamard 行列を構成すること。
• Yamada の定理を用いて既存の Hadamard 行列から新しいものを導出し、特に q ≡ 1 または 5 (mod 8) を満たす素数 q に対して有効である。
• Miyamoto の Williamson 型行列と Hadamard 行列に関する定理を活用し、合成次数への構成を拡張すること。
• コンピュータ探索を用いて、最初に知られている BS(40,39) 基底系列を構成し、これにより直接的に長さ 79 の T-系列の存在が保証されること。
• 既知の T-系列と Williamson 型行列を用いた直交設計 OD(4d) を組み合わせ、より大きな Hadamard 行列を構築すること。
• 既知の結果と計算による検証を通じて、必要な斜行列 Hadamard 行列と直交設計の存在を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 42 個の以前の「悪い」整数 n < 10,000 について、Hadamard 行列の存在が示せるか？
• RQ2 BS(40,39) 基底系列の存在が、長さ 79 の T-系列と d=79 の直交設計 OD(4d) の存在を示唆するか？
• RQ3 新しい基底系列の構成を用いて、T-系列の未解決ケース n=97 を解消できるか？
• RQ4 会議行列、Williamson 型行列、直交設計に関する既存の定理をどのように組み合わせて、既知の Hadamard 行列次数の範囲を拡張できるか？
• RQ5 新しい基底系列の構成が、Hadamard 行列予想における未解決ケース総数に与える影響は何か？

主な発見

• 本論文は、T-系列の構成において画期的な進展である、最初に知られている BS(40,39) 基底系列を構成した。
• この構成により、長さ 79 の T-系列の存在が確認され、直交設計の研究における重要な未解決事例が解消された。
• 著者らは、42 個の以前の「悪い」整数を「良い」整数に成功裏に変換し、n < 10,000 の 4n 階 Hadamard 行列の未解決ケース数を 822 にまで削減した。
• すべての d ≤ 100 について、T-系列 TS(d) が存在することが確認されたが、d=97 のみが未解決のまま残っている。
• BS(40,39) の構成により、d=79 の直交設計 OD(4d) の存在が保証され、さらなる行列構築が可能になった。
• 既存の定理と新しい計算結果を組み合わせることで、11 個の新しい素数次数 n（787, 823, 883, 8237 を含む）について Hadamard 行列の存在が確認された。