[論文レビュー] Small positive values and lower large deviations for supercritical branching processes in random environment

Vincent Bansaye, Christian Boeinghoff|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、確率的環境下の超臨界分岐過程（BPRE）におけるレアイベントを分析し、小さな正の集団サイズと下側の大偏差に焦点を当てる。線形分数型の産み分け分布に対して、P(1 ≤ Zn ≤ k) の漸近的減衰率を導出し、二つの異なる定常状態を明らかにした。また、先行研究よりも弱いモーメント条件の下で、下側大偏差原理を一般化した。

ABSTRACT

Branching Processes in Random Environment (BPREs) (Zn : n ≥ 0) are the generalization of Galton-Watson processes where in each generation the reproduction law is picked randomly in an i.i.d. manner. In the supercritical case, the process survives with positive probability and then almost surely grows geometrically. This paper focuses on rare events when the process takes positive values, but lower than expected. First, we consider small positive values the process may reach for large times and describe the asymptotic behavior of P(1 ≤ Zn ≤ k) as n → ∞. If the reproduction laws are linear fractional, two regimes appear for the rate of decrease of this probability. Secondly, we are interested in the lower large deviations of Z and give the rate function under some moment assumptions. This result generalizes the lower large deviation theorem of Bansaye and Berestycki (2009) by considering processes where P1(Z1 = 0) > 0 but also weaker moment assumptions. AMS 2000 Subject Classi cation. 60J80, 60K37, 60J05, 60F17, 92D25

研究の動機と目的

• 線形分数型産み分け分布を有する超臨界BPREにおいて、n → ∞ のときの P(1 ≤ Zn ≤ k) の漸近的挙動を理解すること。
• 長時間にわたり小さな正の値に達する確率の減衰率を特定すること。
• P1(Z1 = 0) > 0 でかつ先行研究よりも弱いモーメント仮定の下で、Zn に対する下側大偏差原理を拡張すること。
• 線形分数型産み分け分布のパラメータに応じた、小さな正の確率の減衰率の二つの定常状態を同定すること。

提案手法

• 独立同分布の再生産法則が確率的環境から抽出される分岐過程の枠組み（BPRE）を用いる。
• 集団サイズが長時間にわたり小さな正の値のままであるような稀な事象の確率を分析するため、大偏差技法を適用する。
• BansayeとBerestycki（2009）のものよりも弱いモーメント仮定を用い、P1(Z1 = 0) > 0 を許容する。
• BPREの構造に特化した経路的および母関数法を用いて、下側大偏差のレート関数を導出する。
• 線形分数型産み分け分布のパラメータに応じて、P(1 ≤ Zn ≤ k) の減衰率に二つの定常状態を区別する。
• 線形分数型分布の明示的表現を活用し、小さな正の確率事象の精密な漸近的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形分数型産み分け分布を有する超臨界BPREにおいて、n → ∞ のときの P(1 ≤ Zn ≤ k) の漸近的減衰率は何か？
• RQ2 小さな正の集団サイズの減衰率は、線形分数型産み分け分布のパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 産み分け分布が正の確率で絶滅を許容する場合に、Zn に対する下側大偏差原理を拡張できるか？
• RQ4 BansayeとBerestycki（2009）の仮定を超えて、BPREにおける下側大偏差原理を確立するのに十分なモーメント条件は何か？

主な発見

• 線形分数型産み分け分布に対しては、P(1 ≤ Zn ≤ k) の減衰率が、分布パラメータに応じて二つの異なる定常状態を示す。
• P(1 ≤ Zn ≤ k) の減少率は、産み分け分布の平均と分散に依存する明確な漸近的表現で特徴づけられる。
• BansayeとBerestycki（2009）のものよりも弱いモーメント仮定の下で、下側大偏差のレート関数が導出された。これには、P1(Z1 = 0) > 0 の場合も含まれる。
• 下側大偏差のレート関数は明示的に計算され、アンネールド平均と環境分布の尾部挙動に依存することが示された。
• 結果として、絶滅確率が正である場合を含む、より広いクラスのBPREに下側大偏差定理が一般化された。
• 小さな正の値の減衰における二つの定常状態の挙動は、環境のばらつきと産み分け分布の構造との相互作用に起因する。