[論文レビュー] Small probability events for two-layer geophysical flows under uncertainty

Aijun Du, Jinqiao Duan+1 more|ArXiv.org|Oct 15, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、無限次元ブラウン運動関数の変分表現に基づく弱収束アプローチを用いて、小さな確率的摂動の下で、2層準地軸渦流モデルに対する大偏差原理（LDP）を確立する。主な貢献は、通常のLDPの証明で必要とされる指数的緊密性を要件としないことであり、複雑な気象流体のレアイベントを分析するための新しい手法を提供する。

ABSTRACT

The stochastics two-layer quasi-geostrophic flow model is an intermediate system between the single-layer two dimensional barotropic flow model and the continuously stratified three dimensional baroclinic flow model. This model is widely used to investigate basic mechanisms in geophysical flows, such as baroclinic effects, the Gulf Stream and subtropical gyres. A large deviation principle for the two-layer quasi-geostrophic flow model under uncertainty is proved. The proof is based on the Laplace principle and a variational approach. This approach does not require the exponential tightness estimates which are needed in other methods for establishing large deviation principles.

研究の動機と目的

• 小さな確率的摂動の下で、確率的2層準地軸渦流モデルに対する大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 極端な気象や急激な気候変動などの小確率事象を、確率的偏微分方程式（SPDE）を用いて分析すること。
• 不確実性を伴う気象流体力学におけるレアイベント解析のための厳密な数学的枠組みを構築すること。
• 従来のSPDEのLDP証明で一般的に必要とされる指数的緊密性の見積もりを回避すること。
• 無限次元設定におけるLDPを導出するため、ウィーナー関数の変分表現に基づく弱収束アプローチを応用すること。

提案手法

• 乗法的ノイズを用いて不確実な風力摂動を表現する、2層準地軸渦流モデルの確率的系を、境界条件を伴うSPDE系として定式化する。
• 無限次元ブラウン運動関数の関数の変分表現に基づく最近の弱収束アプローチを適用し、指数的緊密性を回避する。
• 適切な関数空間におけるSPDE系の適切な定義（well-posedness）を、$ C([0,T];bH) \bigcap L^2((0,T);bH^1_0) $ において確立する。
• 摂動を加えたSPDEに対してコンパクトネスおよび弱収束の議論を適用し、ラプラス原理（LDPと同値）を検証する。
• 制御過程 $ h \in L^2(0,T;\bbH_0) $ における作用関数 $ \frac{1}{2}\int_0^T \|h(s)\|_0^2 ds $ を用いて、レート関数を下界の最小値として導出する。
• 収束の制御にグロワールの不等式、コーシー＝シュワルツ推定、時間離散化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的緊密性に依存しないで、確率的2層気象流体に対する大偏差原理をどのように厳密に確立できるか？
• RQ2 確率的摂動を伴う2層準地軸渦流モデルにおける、まれな事象の確率を支配するレート関数は何か？
• RQ3 小さな確率的摂動は、極端または異常な気象流体状態の発生確率にどのように影響を与えるか？
• RQ4 確率解析に基づく変分法は、気象流体力学における無限次元SPDEに効果的に適用可能か？

主な発見

• 小さなノイズ強度 $ \varepsilon $ の下で、確率的2層準地軸渦流モデルに対する大偏差原理が、空間 $ C([0,T];bH) \cap L^2((0,T);bH^1_0) $ において厳密に証明された。
• レート関数は明示的に $ I_\xi(\psi) = \inf_{h \in L^2(0,T;\bbH_0)} \left\{ \frac{1}{2} \int_0^T \|h(s)\|_0^2 ds \right\} $ と与えられ、制御 $ h $ が制御されたSPDEを介して軌道 $ \psi $ を生成するものである。
• 標準的な指数的緊密性の要件を回避したため、地球物理学におけるより広いクラスのSPDEに適用可能である。
• ノイズおよび初期データが $ \bbH $ に属する適切な仮定の下で、SPDE系の適切な定義が確立された。
• 時間離散化と弱収束の議論を用いて、レート関数のレベル集合のコンパクトネスが証明され、これによりレート関数が「良い」関数であることが保証された。
• グロワールの不等式およびノイズ増分の推定を用いて、変分枠組みにおける近似列の収束が示され、$ \|\tilde{q}_n(t)\| \to 0 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つことが導かれた。