[論文レビュー] Small Representation Principle

H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小表現原理（SRP）を提唱する。これは、単純およびアーベル的因子における2次カルタン不変量の比 $C_A/C_F$ の正規化積を「目的量」として用いる、群論的で新規な基準であり、標準模型ゲージ群 $S(U(2)\times U(3))$ および4次元時空を、すべての候補の中から一意に選出する。この原理は、最小の忠実表現を持つ群を選択し、標準模型ゲージ群および時空次元 $d=4$ を正しく予測する。これは表現論と素因数物理学との間に深い関係があることを示唆する。

ABSTRACT

In a previous article Don Bennett and I looked for, found and proposed a game in which the Standard Model Gauge Group $S(U(2) imes U(3))$ gets singled out as the "winner". This "game" means that the by Nature chosen gauge group should be just that one, which has the maximal value for a quantity, which is a modification of the ratio of the quadratic Casimir for the adjoint representation and that for a "smallest" faithful representation. In a recent article I proposed to extend this "game" to construct a corresponding game between different potential dimensions for space-time. The idea is to formulate, how the same competition as the one between the potential gauge groups would run out, if restricted to the potential Lorentz or Poincare groups achievable for different dimensions of space-time $d$. The remarkable point is, that it is the experimental space-time dimension 4, which wins. It follows that the whole Standard Model is specified by requiring SMALLEST REPRESENTATIONS! Speculatively we even argue that our principle found suggests the group of gauge transformations and some manifold(suggestive of say general relativity).

研究の動機と目的

• すべての可能な候補の中から標準模型ゲージ群および時空次元 $d=4$ を一意に特定する普遍的原理を同定すること。
• 標準模型ゲージ群および4次元時空がなぜ自然界に実現されているのかという長年の謎を解明すること。
• 最小忠実表現に基づく新規な基準を提唱し、フェルミオンおよびヒッグス表現を含む標準模型の構造を説明すること。
• この原理が、ゲージ対称性、時空次元、および素粒子内容の起源を一つの理論枠組みで統一的に説明できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 目的量を、群のすべての単純およびアーベル的因子についての積の $d_G$ 乗根として定義する。単純因子については $ (C_A/C_F)^{d_i} $、アーベル的因子については $ (e_A^2/e_F^2) $ を含む。
• 各群因子について、随伴表現の2次カルタン不変量 $C_A$ と最小非自明（忠実）表現 $F$ の $C_F$ を用い、比 $C_A/C_F$ を計算する。
• 目的量を、$G_{\text{cover}}$（単純リー群および $\mathbb{R}^J$ の積）と $D$（離散的中心部分群）の商 $G = G_{\text{cover}}/D$ として与えられるゲージ群に適用する。
• ローレンツ群およびポincare群を異なる時空次元 $d$ に対して適用し、$d=4$ で目的量が最大になることを示し、観測された時空次元を予測する。
• この原理を用いて、標準模型におけるヒッグスおよびフェルミオン表現が、この基準のもとで最小の可能性を持つことを主張する。
• 予想的かつ拡張的に、この枠組みを用いて、全ゲージ変換群および一般相対性理論に類似した幾何学が、この最小表現基準から生じうることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準模型ゲージ群 $S(U(2)\times U(3))$ がすべての可能なゲージ群の中で一意に選ばれるのか？
• RQ2 なぜ実験的に観測された時空次元 $d=4$ が、ゲージ群の選択に用いられる同じ目的量を最大にするのか？
• RQ3 既知のヒッグスボソンおよびキラルフェルミオンの表現は、この原理のもとで最小の可能性を持つのか？
• RQ4 この原理は、一つの統一的基準として、ゲージ対称性および時空次元の起源を説明できるのか？
• RQ5 この枠組みは、プランクスケールでSU(5) GUTに類似した結合定数の近似的な統一を予測するのか？

主な発見

• 目的量—$ \left( \prod_i (C_A/C_F)^{d_i} \cdot \prod_j (e_A^2/e_F^2) \right)^{1/d_G} $ として定義される—は、標準模型ゲージ群 $S(U(2)\times U(3))$ で最大値に達し、これを一意に選出する。
• 同じ目的量は、異なる時空次元におけるローレンツ群またはポincare群に適用した場合、$d=4$ でピークに達し、観測された時空次元を予測する。
• ヒッグス粒子は $S(U(2)\times U(3))$ の基本表現に変換され、これはSRPのもとで可能な最小の非自明表現であるため、その最小性が確認される。
• 標準模型のフェルミオン家族におけるキラルフェルミオン表現は、SRPのもとで最小の可能性と整合的であり、特に異常キャンセリングの制約を組み合わせた場合に顕著である。
• この原理は、全ゲージ変換群およびおそらく一般相対性理論に類似した幾何学が、この最小表現基準から生じうることを示唆する。
• この枠組みは、支配的となる小表現とユニタリ群上の自然測度に基づき、プランクスケールで近似的にSU(5)の結合定数の統一が生じる可能性を示唆している。