[論文レビュー] Small Space Stream Summary for Matroid Center

Sagar Kale|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Facility Location and Emergency Management参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マトロイドセンター問題およびそのアウリヤー変種に対する、初めてのワンパスストリーミングアルゴリズムを提示し、O(r² log(1/ε)/ε) の空間で (7+ε)-近似を達成するとともに、アウリヤー版では (15+ε)-近似を達成する。より良い∆-近似を達成するためにはΩ(r²)の空間が必要であることを示し、ストリーミングにおけるマトロイドセンターとk-センターの間で2次的なギャップが生じることを明らかにした。ストリーム要約とストリーム・ストラッピング技術を用いて、改善された近似比を得る効率的な二パスアルゴリズムも提供している。

ABSTRACT

In the matroid center problem, which generalizes the $k$-center problem, we need to pick a set of centers that is an independent set of a matroid with rank $r$. We study this problem in streaming, where elements of the ground set arrive in the stream. We first show that any randomized one-pass streaming algorithm that computes a better than $Δ$-approximation for partition-matroid center must use $Ω(r^2)$ bits of space, where $Δ$ is the aspect ratio of the metric and can be arbitrarily large. This shows a quadratic separation between matroid center and $k$-center, for which the Doubling algorithm gives an $8$-approximation using $O(k)$-space and one pass. To complement this, we give a one-pass algorithm for matroid center that stores at most $O(r^2\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)$ points (viz., stream summary) among which a $(7+\varepsilon)$-approximate solution exists, which can be found by brute force, or a $(17+\varepsilon)$-approximation can be found with an efficient algorithm. If we are allowed a second pass, we can compute a $(3+\varepsilon)$-approximation efficiently; this also achieves almost the known-best approximation ratio (of $3+\varepsilon$) with total running time of $O((nr + r^{3.5})\log(1/\varepsilon)/\varepsilon + r^2(\log Δ)/\varepsilon)$, where $n$ is the number of input points. We also consider the problem of matroid center with $z$ outliers and give a one-pass algorithm that outputs a set of $O((r^2+rz)\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)$ points that contains a $(15+\varepsilon)$-approximate solution. Our techniques extend to knapsack center and knapsack center with outliers in a straightforward way, and we get algorithms that use space linear in the size of a largest feasible set (as opposed to quadratic space for matroid center).

研究の動機と目的

• サブ線形空間を用いたマトロイドセンター問題の効率的なワンパスおよび二パスストリーミングアルゴリズムの設計。
• マトロイドセンターのランダム化ワンパスストリーミングアルゴリズムにおける強い空間計算量の下界の確立。
• フレームワークをマトロイドセンターにz個のアウリヤーを含む場合およびナップサックセンターの変種に拡張すること。
• 最小限の空間と効率的な計算で、既知のオフライン最良近似（3+ε）に近い近似比を達成すること。
• マトロイド制約がストリーミングモデルにおいてk-センターと比較して、空間要件を根本的に増加させることを示すこと。

提案手法

• 増加するしきい値を用いた複数の候補解を保持することで、空間使用量を削減するストリーム・ストラッピング技術を用いる。
• O(r² log(1/ε)/ε) のポイントからなるストリーム要約を維持し、(7+ε)-近似解を含む。
• 要約上でブルートフォース探索を用いて(7+ε)-近似を達成するか、効率的なアルゴリズムを用いて(17+ε)-近似を達成する。
• 要約とマトロイド独立性のチェックを活用して、二パスアプローチにより(3+ε)-近似を効率的に計算する。
• ナップサックセンターおよびナップサックセンターにアウリヤーを含む場合にも同様の技術を拡張し、同じ近似比で空間複雑度をO(r²)からO(r)に削減する。
• 未知の最適コストに対応するため、アクティブおよび非アクティブなコピーを用いた二重化スタイルのしきい値戦略を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイドセンターにおいて、ワンパスのランダム化ストリーミングアルゴリズムが∆-近似より優れた近似を達成するための最小空間要件は何か？
• RQ2 rの二次関数的でない空間で、(7+ε)-近似を達成するワンパスストリーミングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 ストリーミングモデルにおいて、マトロイドセンターの空間複雑度はk-センターと比較してどの程度異なるか？
• RQ4 フレームワークをマトロイドセンターにz個のアウリヤーを含む場合およびナップサックセンターに同様の近似保証と空間効率で拡張できるか？
• RQ5 二パスでサブ二次空間を用いた場合、マトロイドセンターの最良近似比は何か？

主な発見

• マトロイドセンターのランダム化ワンパスストリーミングアルゴリズムが∆-近似より優れた近似を達成するためには、Ω(r²)ビットの空間が必要であり、k-センターからの2次的な分離が確立された。
• O(r² log(1/ε)/ε) の空間を用いて、要約上のブルートフォース探索を用いることで、ワンパスアルゴリズムが(7+ε)-近似を達成する。
• 同じ空間でブルートフォース探索を避ける効率的なワンパスアルゴリズムにより、(17+ε)-近似を達成する。
• 二パスアルゴリズムは、合計時間O((nr + r³.⁵)log(1/ε)/ε + r² log∆/ε) および空間O(r² log(1/ε)/ε) を用いて、(3+ε)-近似を計算する。
• マトロイドセンターにz個のアウリヤーを含む場合、ワンパスアルゴリズムはO((r² + rz)log(1/ε)/ε) のポイントを格納し、ブルートフォースを用いることで(15+ε)-近似を達成するか、効率的な計算で(51+ε)-近似を達成する。
• フレームワークはナップサックセンターへ拡張可能であり、同じ近似比で空間複雑度をO(r²)からO(r)に削減できる。