[論文レビュー] Small-time expansions for the transition distributions of Lévy processes

José E. Figueroa‐López, Christian Houdré|ArXiv.org|Sep 4, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、原点から離れた点で滑らかさが保証されるLévy密度および遷移密度の導関数の有界性に関する条件の下で、絶対連続なLévy測度をもつLévy過程の尾確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq y) $ および遷移密度について、時間 $ t $ に関する $ n $ 次の小時間多項式展開を導出する。主な貢献は、近似の明示的剰余項の特定および先行の漸近的結果の是正であり、対称安定型および金融分野に関連するLévy過程において検証されている。

ABSTRACT

Let $X$ be a Lévy process with absolutely continuous Lévy measure $ν$. Small time polynomial expansions of order $n$ in $t$ are obtained for the tails $P(X_{t}\geq{}y)$ of the process, assuming smoothness conditions on the Lévy density away from the origin. By imposing additional regularity conditions on the transition density $p_{t}$ of $X_{t}$, an explicit expression for the remainder of the approximation is also given. As a byproduct, polynomial expansions of order $n$ in $t$ are derived for the transition densities of the process. The conditions imposed on $p_{t}$ require that its derivatives remain uniformly bounded away from the origin, as $t o{}0$; such conditions are shown to be satisfied for symmetric stable Lévy processes as well as for other related Lévy processes of relevance in mathematical finance. The expansions seem to correct asymptotics previously reported in the literature.

研究の動機と目的

• 絶対連続なLévy測度をもつLévy過程の尾確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq y) $ について、小時間多項式展開を構築すること。
• 展開における剰余項が明示的に評価可能である条件を確立すること。
• プロセスの遷移密度についても対応する多項式展開を導出すること。
• Lévy過程に関する先行文脈で報告された漸近的近似を是正すること。
• 数学的ファイナンス分野で関心の高い対称安定型および関連Lévy過程について、遷移密度およびその導関数の正則性条件が満たされることを確認すること。

提案手法

• 原点から離れた点でLévy密度に滑らかさの仮定を置くことにより、尾確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq y) $ に対する小時間展開を導出する。
• 遷移密度 $ p_t $ 及びその導関数の正則性条件を課し、$ t \to 0 $ の際に一様有界性を保証することで、明示的な剰余項の制御を可能にする。
• 漸近的解析およびモーメントに基づく展開を用いて、$ t $ の累乗としての遷移分布の尾部を、$ n $ 次まで表現する。
• 同じ正則性フレームワークを活用して、遷移密度 $ p_t(x) $ に対しても類似の多項式展開を導出する。
• 対称安定型Lévy過程および数学的ファイナンス分野で関連性のあるその他のプロセスに対して、正則性条件が成立することを検証する。
• Lévy-Khintchine表現の構造およびLévy密度の性質を用いて、展開係数および誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点から離れた点で滑らかさが保証されるLévy密度をもつLévy過程について、尾確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq y) $ の小時間多項式展開（$ n $ 次）の形はどのようなものか？
• RQ2 遷移密度およびその導関数の一様有界性に関する条件の下で、尾確率の小時間展開における剰余項をどのように明示的に表現できるか？
• RQ3 導出された展開は、Lévy過程に関する先行文脈で報告された漸近的近似をどの程度是正するか？
• RQ4 遷移密度およびその導関数が $ t = 0 $ の近傍で一様有界であるためのLévy過程に関する条件は何か？
• RQ5 対称安定型Lévy過程およびその他の金融分野に関連するLévy過程は、展開および剰余項の制御に必要な正則性条件を満たすか？

主な発見

• 原点から離れた点でLévy密度に滑らかさが保証される条件下で、絶対連続なLévy測度をもつLévy過程の尾確率 $ \mathbb{P}(X_t \geq y) $ について、$ n $ 次の小時間多項式展開が確立された。
• 遷移密度 $ p_t $ 及びその導関数が $ t \to 0 $ の際に一様有界であるという条件下で、展開における剰余項の明示的表現が得られた。
• 遷移密度 $ p_t(x) $ についても、$ n $ 次の多項式展開が得られ、近似フレームワークが密度レベルへと拡張された。
• 遷移密度 $ p_t $ 及びその導関数に関する正則性条件が、対称安定型Lévy過程および数学的ファイナンス分野で関心の高いその他のLévy過程で満たされることを示した。
• 先行文脈で報告された漸近的近似が、Lévy過程の分布の小時間挙動に関して是正された。
• 誤差項が定量可能な高次の小時間近似の体系的枠組みが提供され、オプションプライシングなどの応用分野における精度向上が図られた。