[論文レビュー] Small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation with Navier slip-with-friction boundary conditions

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach+1 more|ArXiv.org|Dec 23, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界の一部にのみ制御が施される場合でさえも、2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に対して、ナビエスリップ・摩擦境界条件のもとで、任意の短時間におけるグローバルな正確な可制御性を確立する。オイラー方程式の可制御性と漸近的境界層解析、および精密な制御設計を組み合わせることで、$L^2_\text{γ}(\Omega)$ 内の任意の初期速度場が、任意に短い時間内に正確にゼロに駆動可能であることを証明する。これは、制御されていない境界部に粘性境界層が形成されても成立する。

ABSTRACT

In this work, we investigate the small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation, both towards the null equilibrium state and towards weak trajectories. We consider a viscous incompressible fluid evolving within a smooth bounded domain, either in 2D or in 3D. The controls are only located on a small part of the boundary, intersecting all its connected components. On the remaining parts of the boundary, the fluid obeys a Navier slip-with-friction boundary condition. Even though viscous boundary layers appear near these uncontrolled boundaries, we prove that small-time global exact controllability holds. Our analysis relies on the controllability of the Euler equation combined with asymptotic boundary layer expansions. Choosing the boundary controls with care enables us to guarantee good dissipation properties for the residual boundary layers, which can then be exactly canceled using local techniques.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元の領域におけるナビエ＝ストークス方程式の、ナビエスリップ・摩擦境界条件のもとでの小時間グローバル正確可制御性を確立すること。
• 境界の一部のみに制御が施される場合に、制御されていない部分に粘性境界層が形成されるという課題に対処すること。
• 境界層の存在が、任意に短い時間内にゼロ状態への正確可制御性を妨げないことを示すこと。
• 一般の摩擦行列 $M$ に対する可制御性結果を拡張し、ディリクレ条件の極限ケースを含むこと。
• オイラー方程式の可制御性を基盤とし、局所的制御技術による境界層キャンセレーションに基づく構成的戦略を提供すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス系の一次近似としてのオイラー方程式の可制御性を活用する。
• 未制御境界付近の粘性効果をモデル化するために、漸近的境界層展開を用いる。
• 残りの境界層に有益な散逸性を確保するために、制御部 $\Gamma$ における境界制御を設計する。
• 漸近的展開によって推定された境界層成分を、局所的制御技術を用いて正確にキャンセルする。
• 与えられた境界条件を満たすナビエ＝ストークス方程式を満たす弱い制御軌道 $u \in \mathcal{C}^0_w([0,T];L^2_\gamma(\Omega)) \cap L^2((0,T);H^1(\Omega))$ を構成する。
• 正則拡張作用素を用い、積分公式による発散なしベクトル場再構成問題を解くことで、発散なし構造を保つ力項を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御が境界の一部にのみ施される場合、ナビエ＝ストークス方程式を任意に短い時間内にゼロに駆動することは可能か？
• RQ2 制御されていない境界部に粘性境界層が形成されても、小時間グローバル正確可制御性は妨げられないか？
• RQ3 オイラー方程式の可制御性を基盤として、ナビエスリップ・摩擦条件を満たすナビエ＝ストークス系の正確可制御性を達成できるか？
• RQ4 漸近的展開後に、局所的制御技術を用いて残存境界層をキャンセルすることは可能か？
• RQ5 一般の摩擦行列 $M$ は可制御戦略にどのように影響を及ぼし、ディリクレ極限（$M \to \infty$）への拡張は可能か？

主な発見

• 2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に対して、ナビエスリップ・摩擦境界条件のもとで、小時間グローバル正確なゼロ可制御性が成立する。
• 任意の $T > 0$ および任意の初期データ ${u_*} \in L^2_\gamma(\Omega)$ に対して、弱い制御軌道 $u$ が存在し、$u(0,\cdot) = {u_*}$ かつ $u(T,\cdot) = 0$ を満たす。
• 結果は任意の固定された正の粘性係数 $\nu$ に対して成立し、$\nu$ に依存する摩擦行列 $M_\nu$ に対しても拡張可能であり、ディリクレ極限に対しても成立する。
• この構成は、オイラー方程式の可制御性と、粘性境界層を精密に設計された境界制御で制御・キャンセルできる能力に依存する。
• 境界層ダイナミクスが散逸的であり、境界層が制御されていない部分に形成されても、局所的技術を用いて正確にキャンセル可能であることが保証される。
• 証明は弱い位相において $L^2_\gamma(\Omega)$ 値をとる解を構成し、そのような軌道の存在は一意性や強い解を仮定しないで確立される。