[論文レビュー] Small-time local controllability of the bilinear Schr\"odinger equation, despite a quadratic obstruction, thanks to a cubic term

Bournissou, Mégane|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2022

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1次元双線形シュレーディンガー方程式の基底状態まわりにおける小時間局所的可制御性（STLC）を、非線形展開における消えない三次項を活用することで、二次のドリフト項による障害にもかかわらず確立する。証明は、無限次元における新しい接ベクトルの概念を用い、制御変動によって三次項を支配するとともに、射影におけるSTLCを用いた正確な補正を組み合わせ、弱いノルム推定とブロウワーの不動点定理により、失われた方向における誤差を無視できるほど小さく保つ。

ABSTRACT

We consider a 1D linear Schr{\"o}dinger equation, on a bounded interval, with Dirichlet boundary conditions and bilinear control. We study its controllability around the ground state when the linearized system is not controllable. More precisely, we study to what extent the nonlinear terms of the expansion can recover the directions lost at the first order.In previous works, for any positive integer $n$, assumptions have been formulated under which the quadratic term induces a drift in the nonlinear dynamics, quantified by the $H^{-n}$ norm of the control. This drift is an obstruction to the small-time local controllability (STLC) under a smallness assumption on the controls in regular spaces. In this paper, we prove that for controls small in less regular spaces, the cubic term can recover the controllability lost at the linear level, despite the quadratic drift. The proof is inspired by Sussman's method to prove the sufficiency of the $\mathcal{S}( heta)$ condition for STLC of ODEs. However, it uses a different global strategy relying on a new concept of tangent vector, better adapted to the infinite-dimensional setting of PDEs. Given a target, we first realize the expected motion along the lost direction by using control variations for which the cubic term dominates the quadratic one. Then, we correct the other components exactly, by using a STLC in projection result, with simultaneous estimates of weak norms of the control. These estimates ensure that the new error along the lost direction is negligible, and we conclude with the Brouwer fixed point theorem.

研究の動機と目的

• 線形化された系が二次のドリフトのため可制御でない場合に、1次元双線形シュレーディンガー方程式の可制御性問題を解決すること。
• 特に消えない三次項を有する高次非線形項が、線形レベルで失われた可制御性を回復できるかどうかを調査すること。
• 弱い制御空間における可制御性の喪失に対処するため、精密化された接ベクトル概念に基づく新しい無限次元戦略を開発すること。
• 制御がより正則性の低い空間（例：H^{-k}ノルム）で小さいと仮定した場合のSTLCを確立すること。これにより、二次のドリフトによる障害を克服する。
• 三次項の支配と射影における正確な補正をバランスさせることで、ターゲット状態への移行を達成する制御関数を構築すること。

提案手法

• 無限次元PDEに特化した新しい接ベクトルの概念を導入し、古典的なODE手法よりも弱い制御ノルムに適応している。
• 制御変動を用い、三次項が二次ドリフトを支配するようにすることで、線形次数で失われた方向への運動を可能にする。
• 参考文献[15]における射影におけるSTLC結果を応用し、失われた方向以外のすべての成分を正確に補正する。同時に、制御の弱いノルムに関する推定を併用する。
• 弱いノルム推定（例：H^{-k}ノルム）を用い、補正後の失われた方向における誤差が無視できるほど小さくなることを保証する。
• 上記の手法をブロウワーの不動点定理を用いて統合し、所望のターゲット状態に到達する制御の存在を証明する。
• 解析関数と陰関数定理を用いた摂動論的議論により、すべての非退化条件（Hquad, Hcub など）を満たすジポールモーメント µ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化された系が二次のドリフトのため可制御でない場合に、三次非線形性が双線形シュレーディンガー方程式の可制御性を回復できるか？
• RQ2 制御が弱く、正則性の低い空間（例：H^{-k}ノルム）で小さい場合でも、二次のドリフトがあるにもかかわらず小時間局所的可制御性（STLC）は達成可能か？
• RQ3 新しい無限次元接ベクトルの概念が、弱い制御ノルムを伴うPDE制御系における可制御性の喪失を効果的に扱えるか？
• RQ4 非線形PDEの文脈において、二次ドリフトを三次項で同時に支配し、他の成分を射影で正確に補正する方法は何か？
• RQ5 ジポールモーメント µ に課されるどのような条件が、非ゼロの三次係数 CK の存在を保証するとともに、最初の2つの二次係数 A1K と A2K の消滅を維持するか？

主な発見

• 線形化された系が二次のドリフトのため可制御でない場合であっても、H^s(0) 空間（s ≥ 0）においてシステムは小時間局所的可制御性（E-STLC）を有する。
• 制御が H^{-k}(0,T) ノルム（例：k=1）で小さい場合、従来のSTLC結果で用いられる H^k ノルムよりも正則性が低い空間においても可制御性が回復される。
• 三次項 CK ≠ 0 が、A1K = A2K = 0 かつ A3K ≠ 0 であるにもかかわらず、線形レベルで失われた可制御性を回復するのに十分である。この場合、二次近似にドリフトが生じる。
• 構成的摂動法により、すべての非退化条件（Hreg, Hlin, Hquad, Hcub）を満たすジポールモーメント µ ∈ H^11 ∩ H^4_0 が存在することを証明する。
• 誤差が補正後に失われた方向で無視できるほど小さくなることが証明されており、これは制御の弱いノルム推定のおかげで可能となり、ブロウワーの不動点定理の適用が可能になる。
• 本稿では、まず三次項の支配により失われた方向に運動を生成し、次に射影におけるSTLCを用いて他のすべての成分を正確に補正する制御関数を構築する。