[論文レビュー] Small weighted Bergman spaces

José Ángel Peláez|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 34被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、二重性条件 $\int_r^1 \omega(s)\,ds \leq C \int_{(1+r)/2}^1 \omega(s)\,ds$ を満たす径数的重み $\omega$ によって誘導される小さな重み付きBergman空間 $A^p_\omega$ を研究する。このクラスは $\widehat{\mathcal{D}}$ と呼ばれる。$q$-Carleson測度の鋭い特徴付けを確立し、埋め込み定理に対する新しい証明を提示する。その結果、重みが境界付近に集中するにつれて、これらの空間がHardy空間 $H^p$ へ向かう遷移現象を示している。

ABSTRACT

This paper is based on the course \lq\lq Weighted Hardy-Bergman spaces q q\, I delivered in the Summer School \lq\lq Complex and Harmonic Analysis and Related Topics q q at the Mekrijärvi research station of University of Eastern Finland, June $2014$. The main purpose of this survey is to present recent progress on the theory of Bergman spaces $A^p_ω$, induced by radial weights $ω$ satisfying the doubling property $\int_r^1ω(s)\,ds\le C\int_{\frac{1+r}{2}}^1ω(s)\,ds$.

研究の動機と目的

• 径数的重みが二重性条件 $\widehat{\mathcal{D}}$ を満たす重み付きBergman空間 $A^p_\omega$ の理論を研究すること。
• 多項式の稠密性およびBloch空間 $\mathcal{B}$ が $A^p_\omega$ に連続的に埋め込まれるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• $\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ の場合に、$A^p_\omega$ に対する $q$-Carleson測度を特徴付けること。既知の結果を拡張すること。
• Nevanlinna数え上げ関数に関する積分条件を用いて、$A^p_\omega$ 上の合成作用素 $C_\varphi$ の有界性を分析すること。
• 重みが急激に増加する場合に、標準的Bergman空間 $A^p_\alpha$ からHardy空間 $H^p$ への関数論的性質の観点からの遷移現象を明らかにすること。

提案手法

• 二重性条件 $\int_r^1 \omega(s)\,ds \leq C \int_{(1+r)/2}^1 \omega(s)\,ds$ を満たす径数的重みのクラス $\widehat{\mathcal{D}}$ を用いて、小さな重み付きBergman空間を定義する。
• 関数の成長を制御するために、最大関数 $M_\omega(|f|^\alpha)(z) = \sup_{I: z \in S(I)} \frac{1}{\omega(S(I))} \int_{S(I)} |f(\xi)|^\alpha \omega(\xi)\,dA(\xi)$ を用いた点での推定を適用する。
• dyadic分解および単位円板のWhitney型被覆を用いて、積分推定を局所化する。
• Carleson正方形 $S(I)$ および区間 $I_a$ におけるテスト条件を用いて、鋭いCarleson測度特徴付けを導出する。
• Nevanlinna数え上げ関数 $N_{\varphi,v^\star}(\zeta)$ および重み付き積分条件を用いて、合成作用素 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ の有界性を特徴付ける。
• 特に $q \geq 2$ の場合に、双対性および補間技法を用い、問題を関数列の $l^{p/q}$-summability 条件に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの径数的重み $\omega$ に対して、$A^p_\omega$ において多項式が稠密となるか？
• RQ2 Bloch空間 $\mathcal{B}$ が $A^p_\omega$ に連続的に埋め込まれるための条件は何か？
• RQ3 $\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ の場合に、測度 $\mu$ が $A^p_\omega$ に対して $q$-Carleson測度であるための鋭い条件は何か？
• RQ4 合成作用素 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ が有界であるための条件は何か？ その特徴付けに必要な積分条件は何か？
• RQ5 急激に増加する重みを有するBergman空間 $A^p_\omega$ とHardy空間 $H^p$ との間には、関数論的性質においてどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿は、$\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ の場合に、$A^p_\omega$ に対する $q$-Carleson測度の鋭い特徴付けを提供する。測度 $\mu$ が $q$-Carlesonであるための必要十分条件は、$q \geq p$ のとき $\sup_{I} \frac{\mu(S(I))}{\omega(S(I))} < \infty$ であることを示している。
• $q \geq p$ のとき、$q$-Carleson条件は、Carleson正方形上で最大関数 $M_\omega(|f|^q)$ の一様有界性と同値である。
• 合成作用素 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ の有界性は、積分 $\int_{\mathbb{D}} \left( \frac{1}{(1-|z|)^2} \int_{\Delta(z,s)} \frac{N_{\varphi,v^\star}(\zeta)}{\omega^\star(\zeta)} \, dA(\zeta) \right)^{p/(p-q)} \omega(z)\,dA(z) < \infty$ の有限性によって特徴付けられる。
• この $q \geq p$ のCarleson測度特徴付けの証明は、[50]とは異なるアプローチを用い、[49, Chapter 2] の技術および最大関数を含む点での推定に依存している。
• 重み $\omega \in \mathcal{R}$（$\widehat{\mathcal{D}}$ の部分クラス）のとき、列 $\left\{ \frac{\int_{\Delta(z_j,r)} N_{\varphi,v^\star}(\zeta)\,dA(\zeta)}{(\omega(\Delta(z_j,\epsilon)))^{q/p} (1-|z_j|^2)^2} \right\}$ が $l^{p/q}$ に属することを示し、必要なsummability条件が成立することを示している。
• 標準的Bergman空間 $A^p_\alpha$ から $H^p$ への遷移が明確にされた：$\widehat{\mathcal{D}}$ に属する急激に増加する重みを有する空間は、任意の標準的 $A^p_\alpha$ よりも $H^p$ に「近い」性質を持つ。これは、鋭い成長推定 $M_p(r,f) \lesssim \|f\|_{\mathcal{B}} \left( \log \frac{e}{1-r} \right)^{p/2}$ によって示されている。