[論文レビュー] Smaller counterexamples to Hedetniemi's conjecture

Marcin Wrochna|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、5色塗り分けにおけるHedetniemiの予想に対する、これまでで最も小さい反例を構築した。これは、積グラフの彩色数が両方の因子の彩色数未満になるようにしている。lexicographic積と指数的グラフの精密な解析を用いてTardifの枠組みを修正することで、Gが4,686頂点、Hが30頂点の反例を提示した。c=5の場合、前例に比べて顕著な改善がなされた。

ABSTRACT

Hedetniemi's conjecture~\cite{hedetniemi1966homomorphisms} for $c$-colorings states that the tensor product $G imes H$ is $c$-colorable if and only if $G$ or $H$ is $c$-colorable. El-Zahar and Sauer~\cite{El-ZaharS85} proved it for $c = 3$. In a recent breakthrough, Shitov~\cite{Shitov19} showed counterexamples, for large $c$. While Shitov's proof is already remarkably short, Zhu \cite{Zhu20} simplified the argument and gave a more explicit counterexample for $c=125$. Tardif \cite{Tardif20} showed that a modification of the arguments allows to use ``wide colorings'' to obtain counterexamples for $c=14$, and $c=13$ with a more involved use of lexicographic products. This note presents two more small modifications, resulting in counterexamples for $c=5$ (with $G$ and $H$ having 4686 and 30 vertices, respectively).

研究の動機と目的

• c-彩色におけるHedetniemiの予想のより小さな反例を構築すること、特にc=5のような小さなcについて。
• 予想を反証する積グラフG×HにおけるグラフGとHのサイズを小さくすること、ここでχ(G×H) ≤ c だが χ(G) > c かつ χ(H) > c である。
• TardifとZhuの既存手法を精緻化し、lexicographic積を用いた新規構成と指数的グラフにおけるほぼ定数関数の解析を導入することで、反例を改善すること。
• c=5の場合に最小の頂点数を達成する反例を構築し、c=13およびc=14の前例を上回ること。

提案手法

• Tardifの枠組みにおけるグラフFをΩ₁₃K₆に置き換えることで、Γ₅Fに3色塗り分けが存在することを保証し、より小さな反例を可能にする。
• lexicographic積の性質Ω_d(K_n[K_k]) = Ω_dK_{n·k}を用いて、Γ_dFの塗り分け条件を再定式化し、パrameterの調整を容易にする。
• G上の特定の関数h^{(d)}_{i,j}とg^q_iを定義し、指数的グラフK_c^Gにおける色の伝播をモデル化し、長さdのウォークに沿った色の伝播を追跡する。
• K_c^Gの仮想的なc色塗り分けの下でこれらの関数の塗り分け行動を解析し、サイズc−kのクリークがk色のみで塗り分けられることを示し、c ≥ 2k+1のとき矛盾を導く。
• H = K_c^Gの明示的な頂点集合を定義し、定数関数、h^{q,(d)}_{i,j}、g^q_i関数を用いて|V(H)|を最小化しつつ矛盾を保持する。
• 色の伝播の深さd（例：c=5ではd=7）を最適化することで、必要な関数の数とHの頂点数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c=5の場合に、これまでに知られているものよりも著しく小さいグラフでHedetniemiの予想の反例を構築できるか？
• RQ2 Tardifの枠組みにどのような修正を加えることで、GとHの頂点数を減らしつつ反例の性質を維持できるか？
• RQ3 lexicographic積と指数的グラフ関数の使用をどのように活用して反例のサイズを最小化できるか？
• RQ4 c=5の場合にHedetniemiの予想を反証するためのGとHに必要な最小の頂点数は何か？
• RQ5 c ≥ 2k+1という条件を用いて、色の塗り分けにおける矛盾を構築し、c=5の場合に予想が誤りであることを証明できるか？

主な発見

• この論文は、Gが4,686頂点、Hが30頂点のグラフを用いて、5色塗り分けにおけるHedetniemiの予想の反例を構築した。
• 反例はG = Ω₁₃K₆とHをK₅^Gの部分グラフとして用い、Hは定数関数および構造化された関数を含む30個の明示的な頂点を含む。
• k=2、c=5、n=3とすることで、c ≥ n+1、c ≥ 2k+1、c+1 ≤ n·kという条件を満たし、色の塗り分けにおける矛盾の根拠を整えた。
• Gにおける長さ7のウォークに沿った色の伝播を関数h^{(d)}_{i,j}とg^q_iを用いて解析し、クリークの色の塗り分けを通じて矛盾を導出する。
• 最終的な矛盾は、Hにおけるサイズc−k=3のクリークがたったk=2色で塗り分けられることに起因し、c ≥ 2k+1のとき彩色数の要件に反する。
• Hの頂点数は89から30に、Gの頂点数は397,215から4,686に削減され、TardifおよびZhuの構成に比べて顕著な改善がなされた。