[論文レビュー] Smallest defining sets of super-simple 2 - (v, 4,1) directed designs

Nasrin Soltankhah, Farzane Amirzade|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、v ≡ 1 (mod 3) かつ v=7 を除く場合に限り、超単純な 2-(v,4,1) 有向設計が存在することを確立している。すべての such v > 7 に対して、その最小定義集合がブロックの半数以上を含む超単純な 2-(v,4,1)DD が存在することを証明しており、すべての ε > 0 および十分に大きな v に対して、このような設計は最小定義集合が (5/8 − c/v)|ℬ| 個のブロックを含むものであることが保証される。

ABSTRACT

A $2-(v,k,λ)$ directed design (or simply a $2-(v,k,λ)DD$) is super-simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is super-simple, that is, any two blocks of the $BIBD$ intersect in at most two points. A $2-(v,k,λ)DD$ is simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is simple, that is, it has no repeated blocks. A set of blocks which is a subset of a unique $2-(v,k,λ)DD$ is said to be a defining set of the directed design. A smallest defining set, is a defining set which has smallest cardinality. In this paper simultaneously we show that the necessary and sufficient condition for the existence of a super-simple $2-(v,4,1)DD$ is $v\equiv1\ ({ m mod}\ 3)$ and for these values except $v=7$, there exists a super-simple $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least a half of the blocks. And also for all $ε> 0$ there exists $v_0(ε)$ such that for all admissible $v>v_0$ there exists a $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least $(5/8-\frac{c}{v})\mid \mathcal{B}\mid$ blocks, for suitable positive constant c.

研究の動機と目的

• 超単純な 2-(v,4,1) 有向設計の存在に必要な十分な条件を特定すること。
• このような設計における最小定義集合のサイズの下界を確立すること。
• すべての許容可能な v ≡ 1 (mod 3) に対して、v > 7 の場合、最小定義集合がブロックの半数以上を含むことを示すこと。
• すべての ε > 0 および十分に大きな許容可能な v に対して、2-(v,4,1)DD が存在し、その最小定義集合のサイズが (5/8 − c/v)|ℬ| 以上であることを証明すること。
• 既知の部分設計を用いた群可除設計と置換補題を用いて、このような設計を構成すること。

提案手法

• 群可除設計 (GDD) のブロックおよび群を、より小さい有向設計に置換する置換補題の使用により、超単純な 2-(v,4,1)DD を構成する。
• 定義集合密度が f ≥ 5/8 である (2^4) 型の 4-DGDD を構成し、高密度の定義集合を持つ基本的構成要素とする。
• 再帰的構成の基盤として、(6^k)、(2^{3k+1})、(6^k 9^1)、および (2^{3k} 5^1) 型の 4-GDD を用いる。
• サイズ 6 もしくは 9 の群を 2-(13,4,1)DD に、サイズ 2 の群を 2-(4,4,1)DD に置換し、それぞれ f ≥ 1/2 の定義集合密度を持つ。
• ブロックを f ≥ 5/8 の (2^4) 型の 4-DGDD に置換し、定義集合サイズの高い下界を保証する。
• 得られた定義集合密度の漸近的解析により、大きな v に対して f ≥ 5/8 − c/v の下界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超単純な 2-(v,4,1) 有向設計が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 どの v の値に対して、超単純な 2-(v,4,1)DD が最小定義集合のサイズが全ブロック数の半数以上であるものがあるか？
• RQ3 すべての十分に大きな許容可能な v に対して、このような設計における最小定義集合のサイズが、全ブロック数の定数倍で下から抑えられるか？
• RQ4 v が大きくなるにつれて、2-(v,4,1)DD の最小定義集合に含まれるブロックの割合の漸近的下界は何か？
• RQ5 GDD と部分設計を用いた再帰的構成は、定義集合サイズの高い下界を達成するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 超単純な 2-(v,4,1)DD が存在するための必要十分条件は v ≡ 1 (mod 3) であり、v = 7 を除く。
• すべての v ≡ 1 (mod 3) かつ v > 7 に対して、最小定義集合がブロックの半数以上を含む超単純な 2-(v,4,1)DD が存在する。
• すべての ε > 0 および十分に大きな許容可能な v に対して、2-(v,4,1)DD が存在し、その最小定義集合のサイズが (5/8 − c/v)|ℬ| 以上である。ここで c は適切な正の定数である。
• 構成は、f ≥ 5/8 の (2^4) 型の 4-DGDD に依存しており、これには最小でも 5 個のブロックが定義集合に含まれる必要がある。
• v ≡ 1 (mod 12) かつ v ≥ 61 の場合、f ≥ 5/8 − 13/(8v) の下界が成り立つ。
• v ≡ 4 (mod 12) かつ v ≥ 64 の場合、f ≥ 5/8 − 1/(2v) の下界が成り立ち、同様の下界が v ≡ 7 および 10 (mod 12) の場合にも確立される。