[論文レビュー] Smarandache Non-Associative Rings

W. B. Vasantha Kandasamy|ArXiv.org|Jun 2, 2003

Mathematics and Applications参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、同じ演算のもとで結合的環をなす真部分集合を含む非結合的環であるSmarandache非結合的環を導入し、体系的に研究している。基礎的な定義を確立し、150の問題と44の表を提示しており、混合代数的構造を持つ環を探索する包括的な代数的枠組みを提供している。

ABSTRACT

Generally, in any human field, a Smarandache Structure on a set A means a weak structure W on A such that there exists a proper subset B contained in A which is embedded with a stronger structure S. These types of structures occur in our everyday's life, that's why we study them in this book. Thus, as a particular case: A non-associative ring is a non-empty set R together with two binary operations '+' and '.' such that (R, +) is an additive abelian group and (R, .) is a groupoid. For all a, b, c belonging to R we have (a + b) . c = a . c + b . c and c . (a + b) = c . a + c . b. A Smarandache non-associative ring is a non-associative ring (R, +, .) which has a proper subset P contained in R, that is an associative ring (with respect to the same binary operations on R).

研究の動機と目的

• 非結合的環に埋め込まれた結合的部分構造を有する一般化として、Smarandache非結合的環の概念を形式化すること。
• 同じ集合に存在する弱い（非結合的）環構造と強い（結合的）部分環構造との相互作用を調査すること。
• 同じ集合が非結合的および結合的演算を同時に持ちうる代数的系を体系的に研究する基盤を提供すること。
• 非結合的代数におけるさらなる研究および教育的利用を支援するため、150の問題と44の表を提供すること。
• 非結合的環に、『弱い構造の中に真の部分集合として強い構造を持つ』というSmarandacheの概念を拡張すること。

提案手法

• 非結合的環を、二つの二項演算 '+' および '.' をもつ集合 R として定義する。ここで (R, +) はアーベル群であり、(R, .) は群ガードである。
• 分配法則を課す：すべての a, b, c ∈ R に対して (a + b) . c = a . c + b . c および c . (a + b) = c . a + c . b が成り立つ。
• Smarandache条項を導入する：真部分集合 P ⊂ R が、同じ演算のもとで結合的環をなす必要がある。
• 一般代数的構造の枠組みを用いて、非結合的性質と結合的性質の間の階層を探索する。
• 44の表を提示し、Smarandache非結合的環のさまざまなタイプを分類・図示する。
• 150の問題を含め、これらの系における構造的性質、閉包性、部分環の性質を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非結合的環が、同じ演算のもとで結合的環をなす真部分集合を含むためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ2 このような環において、分配法則は乗法の非結合的性質とどのように作用するか？
• RQ3 標準的な非結合的環または結合的環と比較して、Smarandache非結合的環の構造的特徴は何か？
• RQ4 Smarandache構造の概念を非結合的環に一貫して適用する方法は何か？
• RQ5 同じ環の中に非結合的および結合的部分構造が共存する場合、どのような意味を持つのか？

主な発見

• 論文は、同じ演算のもとで結合的環をなす真部分集合を含む非結合的環として、Smarandache非結合的環を明確に定義し、特徴づけた。
• 結合的性質が成立しなくても、分配法則が標準的な環と同様に成り立つことが示された。
• 44の図示的表を用いた構成と分類を通じて、このような環の存在が実証された。
• 150の問題を通じて、閉包性、部分環の性質、構造的制約の性質が探索された。
• Smarandache構造の概念が、非結合的環の文脈においても適用可能で意味を持つことが確認された。
• 本研究はAmerican Research Pressによって出版され、DOIを備えたarXivを通じて学術的可及性が確保されている。