[論文レビュー] Smarandache Rings

W. B. Vasantha Kandasamy|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、ある環に、より強い代数的性質を持つ真部分集合を含む、新しい代数的構造であるSmarandache環を導入する。具体的には、S環Iは、誘導された演算の下で体をなす真部分集合を含み、S環IIは加法と乗法について閉じており、ゼロ積の性質を満たす部分集合を有する。主な貢献は、混合性質を示す現実世界の構造をモデル化するための、こうしたハイブリッド代数的系の形式化である。

ABSTRACT

Generally, in any human field, a Smarandache Structure on a set A means a weak structure W on A such that there exists a proper subset B which is embedded with a stronger structure S. By proper subset one understands a set included in A, different from the empty set, from the unit element if any, and from A. These types of structures occur in our everyday's life thats why we study them in this book. Thus, as two particular cases: A Smarandache Ring of level I (S-ring I) is a ring R that contains a proper subset that is a field with respect to the operations induced. A Smarandache Ring of level II (S-ring II) is a ring R that contains a proper subset A that verifies: A is an additive abelian group; A is a semigroup under multiplication, for a, b belonging to A, a . b = 0 if and only if a = 0 or b = 0.

研究の動機と目的

• 埋め込まれたより強い代数的部分集合を有する新しい環のクラスを形式化すること。
• その真部分集合の構造に基づいて、Smarandache環の2段階（レベルIとレベルII）を定義し、区別すること。
• このような構造が、混合代数的性質を示す現実世界のシステムをモデル化する上で存在し、関連性を有することを示すこと。
• 部分的だがより強い部分構造を有する環のさらなる研究の基盤を提供すること。

提案手法

• S環I（レベルIのSmarandache環）を、環Rがその誘導演算の下で体をなす真部分集合を含むものとして定義する。
• S環II（レベルIIのSmarandache環）を、環Rが加法に関してアーベル群で、乗法に関して半群であり、ゼロ積の性質を満たす真部分集合Aを含むものとして定義する。
• 埋め込まれた構造が非自明で、全体の環とは明確に異なることを保証するために、「真部分集合」という概念を用いる。
• 全集合Rに対しては標準的な環の公理を適用し、より強い公理は真部分集合でのみ検証する。
• Rにおける弱い環構造と、真部分集合における強い部分構造との相互作用を分析する。
• このような構造が、混合代数的性質が共存する日常的文脈において、なぜ関連性があるかを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環が、誘導された演算の下で真部分集合が体をなすためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ2 環が加法と乗法について閉じており、ゼロ積の性質を満たす真部分集合を含むが、必ずしも体ではない場合、どのようにしてそれが可能か？
• RQ3 環内により強い代数的構造を持つ真部分集合が存在することの意味は何か？
• RQ4 S環IとS環IIは、代数的性質および応用分野において、どのように異なるか？
• RQ5 これらの構造は、混合的またはハイブリッドな代数的性質を示す現実世界の現象を、どのようにモデル化するか？

主な発見

• S環Iは、環がその誘導演算の下で真部分集合が体をなす場合に存在する。この真部分集合では、すべての体の公理が満たされる。
• S環IIは、環が真部分集合が加法に関してアーベル群で、乗法に関して半群であり、ゼロ積の性質を満たす場合に存在する。
• 両者の場合において、真部分集合は、全環よりも厳密に小さく、空集合や単位元の自明なケースを除く。
• このような構造の存在は、環が体やゼロ積の性質を満たす半群といった、より強い代数的系を埋め込むことができることを示している。
• これらの環は、部分的な代数的閉包とより強い性質が共存するシステムをモデル化するための形式的枠組みを提供する。
• 本稿は、数学および応用分野におけるハイブリッド代数的系のさらなる探求を可能にする、基礎的な定義を確立している。