[論文レビュー] Smith ideals of structured ring spectra

Mark Hovey|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、対称モノイダルモデル圏の矢印圏におけるモノイドとしてのスミスイデアルを導入し、構造付き環スペクトルにおけるイデアルのホモトピー論的枠組みを提供する。安定な場合に、スミスイデアルのモデル圏とモノイド準同型のモデル圏の間でクィレン同値性を確立し、スミスイデアルが環準同型と同一のホモトピー的情報を符号化することを示している。

ABSTRACT

Pursuing ideas of Jeff Smith, we develop a homotopy theory of ideals of monoids in a symmetric monoidal model category. This includes Smith ideals of structured ring spectra and of differential graded algebras. Such Smith ideals are NOT subobjects, and as a result the theory seems to require us to consider all Smith ideals of all monoids simultaneously, rather then restricting to the Smith ideals of one particular monoid. However, we can take a quotient by a Smith ideal and get a monoid homomorphism. In the stable case, we show that this construction is part of a Quillen equivalence between a model category of Smith ideals and a model category of monoid homomorphisms.

研究の動機と目的

• 構造付き環スペクトルにおけるイデアルのホモトピー論を構築すること。これは、環スペクトルに要素が存在しないため、従来の要素に基づくイデアルの定義が失敗するためである。
• スミスイデアルを、プッシュアウト積モノイダル構造を備えた矢印圏におけるモノイドとして定義し、イデアルのホモトピー的本質を捉えること。
• 矢印圏上の射影的およびインジェクティブなモデル構造を用いて、スミスイデアルおよびモノイド準同型のモデル圏を構成すること。
• 安定な場合に、スミスイデアルからモノイド準同型への余核関手がクィレン同値性を引き起こすことを示し、ホモトピー的双対性を確立すること。
• イデアルが部分対象として定義できない問題を解決するため、代わりにモノイド的条件を満たす写像として扱うこと。

提案手法

• 矢印圏 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ におけるプッシュアウト積モノイダル構造の下で、スミスイデアルをモノイドとして定義する。
• 矢印圏 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ に二つのモデル構造を構成する：テンソル積と相性の良い射影的モデル構造と、プッシュアウト積と相性の良いインジェクティブモデル構造。
• 余核関手を用いてスミスイデアルをモノイド準同型へ写像し、これが左クィレン関手であることを示す。
• ホモトピー的に意味のある商を計算するためには、スミスイデアルのモデル圏におけるコフェイブル近似が必要であることを証明する。
• 超限帰納法と純クラス技術を用いて、生成係数のコフェイブルの平坦性を仮定した場合、射影的モデル構造におけるコフェイブル $R$-加群が平坦であることを示す。
• 安定な場合に、スミスイデアルのモデル圏とモノイド準同型のモデル圏の間で、余核関手を左クィレン関手として用いてクィレン同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環スペクトルに要素が存在しないため、従来の部分対象による定義が不可能な状況下で、どのようにしてイデアルを定義できるか。また、古典的な部分対象の概念に代わるものは何か。
• RQ2 矢印圏 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ にどのようなモデル圏構造が、スミスイデアルのホモトピー論を支えるか。
• RQ3 安定な設定において、スミスイデアルからモノイド準同型への余核関手はクィレン同値性を満たすか。
• RQ4 スミスイデアルによる環スペクトルの商のホモトピー型は、スミスイデアルのモデル圏におけるコフェイブル補完によって捉えられるか。
• RQ5 安定な場合に、スミスイデアルとモノイド準同型の間の関係は何か。この関係はクィレン同値性をもたらすか。

主な発見

• スミスイデアルは、プッシュアウト積モノイダル構造を備えた矢印圏 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ におけるモノイドとして定義され、環スペクトルにおけるイデアルの概念を一般化する。
• スミスイデアルの余核は環スペクトルであり、余核関手はスミスイデアルのモデル圏からモノイド準同型のモデル圏への左クィレン関手である。
• 安定な場合に、余核関手はスミスイデアルのモデル圏とモノイド準同型のモデル圏の間でクィレン同値性を誘導する。
• ホモトピー的に意味のある商を計算するためには、スミスイデアルのモデル圏におけるコフェイブル近似が必要である。これは $R$ が一般にコフェイブルでないためである。
• 生成係数のドメインおよびコドメインが平坦で、純クラス条件を満たす限り、射影的モデル構造におけるコフェイブル $R$-加群は平坦である。
• この理論により、任意の構造付き環スペクトル $R$ が、球面スペクトル $S$ からのスミスイデアルによる商として弱同値の意味で実現可能である。これは、構成における可縮環の自由な追加が許容されるからである。