[論文レビュー] Smooth approximation for classifying spaces of diffeomorphism groups

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、微分同相群の分類空間について、微分同相的空間を用いた滑らかな近似定理を確立し、BGの滑らかな単体複体が連続的単体複体と弱ホモトピー同値であることを証明する。その結果、BGの滑らかなホモトピー群と連続的ホモトピー群は自然に同型であり、無限大圏的技法を用いてホモトピー的に整合的な群作用を構成することが可能になる。

ABSTRACT

We prove a smooth approximation theorem for classifying spaces of certain infinite-dimensional smooth groups. More precisely, using the framework of diffeological spaces, we show that the smooth singular complex of a classifying space BG is weakly homotopy equivalent to the (continuous) singular complex of BG when G is a diffeomorphism group of a compact smooth manifold. In particular, the smooth homotopy groups of BG are naturally isomorphic to the usual (continuous) homotopy groups of BG. On top of a computation of homotopy groups, our methods yield a way to construct homotopically coherent actions of G using infinity-categorical techniques. We discuss some generalizations and consequences of this result with an eye toward [OT19], where we show that higher homotopy groups of symplectic automorphism groups map to Fukaya-categorical invariants, and where we prove a conjecture of Teleman from the 2014 ICM in the Liouville and monotone settings.

研究の動機と目的

• 無限次元微分同相群の分類空間について、滑らかな近似定理を確立すること。
• G がコンパクトな滑らかな多様体の微分同相群であるとき、BG における滑らかさと連続性のホモトピー理論を橋渡しすること。
• 無限大圏的技法を用いて、ホモトピー的に整合的な群作用を構成するための枠組みを提供すること。
• 特に、シンプレクティック位相幾何学への応用を支援し、フェイクヤ型不変量と関連してシンプレクティック自己同型群の高次ホモトピー群を関連させること。
• OT19 で詳しく示されているように、2014年のICMでテレマンが提起した予想を、リウヴィルおよび単調な設定において証明すること。

提案手法

• 分類空間の滑らかさを扱うために、微分同相的空間の枠組みを用いる。
• BG の滑らかな単体複体を構成し、弱ホモトピー同値を介して連続的単体複体と比較する。
• ホモトピー的に整合的な G の作用をモデル化するために、無限大圏的技法を用いる。
• 弱ホモトピー同値を通じて、BG の滑らかなホモトピー群と標準的な（連続的）ホモトピー群の自然同型を確立する。
• 滑らかな構造を活用して、ホモトピー論的データから幾何的および圏論的不変量を抽出する。
• 得られた結果を応用して、シンプレクティック自己同型群の高次ホモトピー群を計算したり、フェイクヤ型不変量と関連づけたりする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G がコンパクトな滑らかな多様体の微分同相群であるとき、BG の滑らかな単体複体が連続的単体複体と弱ホモトピー同値であるか。
• RQ2 この設定において、BG の滑らかなホモトピー群は、標準的な連続的ホモトピー群とどのように関係するか。
• RQ3 微分同相的空間は、無限次元リー群のための滑らかな近似を可能にする役割を果たすか。
• RQ4 無限大圏的技法を用いて、G のホモトピー的に整合的な作用をどのように構成できるか。
• RQ5 結果が、リウヴィルおよび単調なシンプレクティック設定における2014年ICMでのテレマンの予想をどの程度支持または証明するか。

主な発見

• G がコンパクトな滑らかな多様体の微分同相群であるとき、BG の滑らかな単体複体は連続的単体複体と弱ホモトピー同値である。
• BG の滑らかなホモトピー群は、標準的な（連続的）ホモトピー群と自然に同型である。
• この枠組みにより、無限大圏的技法を用いて G のホモトピー的に整合的な作用を構成できる。
• 結果は、シンプレクティック自己同型群の高次ホモトピー群とフェイクヤ型不変量を関連付ける基盤を提供する。
• 論文は、OT19 で詳しく示されているように、2014年のICMでテレマンが提起した予想を、リウヴィルおよび単調な設定において証明する。
• これらの手法により、微分同相群の分類空間に対する滑らかな近似理論が得られ、古典的なホモトピー論的道具が滑らかな設定へと拡張される。