[論文レビュー] Smooth conjugacy of Anosov diffeomorphisms on higher dimensional tori

Andrey Gogolev|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 3次元トーラス上のアノソフ微分同相写像について、単純な実固有値スペクトルをもつ非可約な双曲的自己同型に$C^1$-近いもので、同じ周期的固有値データを持つもの同士の共役性が$C^{1+\nu}$-正則であることを確立する。中間的 foliation に推移性の仮定をおくと、このような共役性はホルダー以上に滑らかになることが示され、高次元アノソフ系における滑らかな共役性理論における長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

Let $L$ be a hyperbolic automorphism of $\mathbb T^d$, $d\ge3$. We study the smooth conjugacy problem in a small $C^1$-neighborhood $\mathcal U$ of $L$. The main result establishes $C^{1+ν}$ regularity of the conjugacy between two Anosov systems with the same periodic eigenvalue data. We assume that these systems are $C^1$-close to an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real spectrum and that they satisfy a natural transitivity assumption on certain intermediate foliations. We elaborate on the example of de la Llave of two Anosov systems on $\mathbb T^4$ with the same constant periodic eigenvalue data that are only Hölder conjugate. We show that these examples exhaust all possible ways to perturb $C^{1+ν}$ conjugacy class without changing periodic eigenvalue data. Also we generalize these examples to majority of reducible toral automorphisms as well as to certain product diffeomorphisms of $\mathbb T^4$ $C^1$-close to the original example.

研究の動機と目的

• 高次元トーラス上のアノソフ微分同相写像が周期的固有値データを共有する場合、その共役性が滑らかであるかどうかを特定すること。
• 同じ周期的データを持つ$C^1$-近傍のアノソフ系が$C^{1+\nu}$共役性をもつための条件を同定すること。
• 中間的foliationの推移性および不変構造がホルダー正則性を超える滑らかな共役性を可能にする役割を理解すること。
• 線形アノソフ自己同型の$C^1$-近傍における$C^{1+\nu}$共役性のすべての障害を分類すること。
• de la Llaveの$\mathbb{T}^4$上での反例を一般化し、周期的データを保存するが滑らかな共役性を破るすべての$C^1$-摂動を特徴付けること。

提案手法

• d ≥ 3の$\mathbb{T}^d$上での単純な実固有値スペクトルと正の固有値をもつ双曲的自己同型$L$の$C^1$-近傍$\mathcal{U}$を分析する。
• 固有値$\mu_i < \cdots < 1 < \lambda_j$に対応する1次元分布$F_i^f$および$E_j^f$への不変分解を用い、それらが一意に積分してfoliation$U_i^f$および$V_j^f$を定める。
• 中心葉の空間$\mathcal{T}$上の因子力学系$\tilde{f}$を用いた推移的点の議論を適用し、これは$\mathbb{T}^2$上の線形自己同型$B$に共役である。
• 初期測度$\eta_0$が弱不安定葉に沿ってヤコビアン比$\rho(x_0, \cdot)$に比例する密度を持つとき、弱*極限としての経験測度$\mu_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} (f^i)_*\eta_0$の極限として不変測度$\mu$を構成する。
• 標準的なホフの議論を用いて、弱不安定foliation$W_f^{wu}$が$\mu$に関して絶対連続であることを確立する。
• 中間foliationのフラッグを共役性が保つことと、フラッグ構造に関する帰納法を用いて、共役性$h$が$W_f^{wu}$に沿って$C^{1+\nu}$-滑らかであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^1$-近傍のアノソフ微分同相写像$f$と$g$が、$\mathbb{T}^d$（d ≥ 3）上で同じ周期的固有値データを持つとき、どのような条件下で共役性が$C^{1+\nu}$-滑らかになるか？
• RQ2 de la Llaveの$\mathbb{T}^4$上での反例（同じ周期的データを持つ2つのアノソフ系がホルダー共役にしかならない）は、他の線形自己同型へ一般化可能か？
• RQ3 中間foliation上の力学の推移性が滑らかな共役性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 周期的固有値データ以外に、線形アノソフ自己同型の$C^1$-近傍における$C^1$-共役類を支配する追加の不変量は存在するか？
• RQ5 線形自己同型の$C^1$-近傍における可約または積型のアノソフ微分同相写像は、共役性の滑らかさにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 単純な実固有値スペクトルをもつ非可約な双曲的自己同型$L$の$C^1$-近傍にある2つのアノソフ微分同相写像$f$と$g$が同じ周期的固有値データを持つ場合、中間foliationに推移性の仮定が成り立つと、それらの共役性は$C^{1+\nu}$-滑らかである。
• 本稿は、de la Llaveの$\mathbb{T}^4$上での例（同じ周期的データを持つ2つのアノソフ系がホルダー共役にしかならない）が、周期的データを保存するが$C^{1+\nu}$共役性を破るすべての摂動が、この例と位相的に同値であるという意味で、包括的であることを示している。
• 絶対連続な弱不安定foliationを持つ推移的不変測度$\mu$の構成により、ホフの議論を適用し、共役性が弱不安定方向に$C^{1+\nu}$-正則であることを証明できる。
• 共役性は中間foliationのフラッグ$V_m^f$を保ち、この保存性は中心葉空間上の因子力学系の構造と推移的点の議論を用いた帰納法によって確立される。
• 本手法は、de la Llaveの例を、可約なトーラス自己同型の広いクラスおよび$\mathbb{T}^4$上の特定の積型微分同相写像へ一般化し、元の反例に$C^1$-近いものに適用可能である。
• 主な技術的進展は、推移性仮定のもとで中心ホロノミーが滑らかであることを証明したことであり、これにより共役性の$C^{1+\nu}$-正則性の証明における帰納ステップが可能になる。