[論文レビュー] Smooth Converse Lyapunov-Barrier Theorems for Asymptotic Stability with Safety Constraints and Reach-Avoid-Stay Specifications

Yiming Meng, Yinan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Formal Methods in Verification被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、漸近安定性と安全制約、および到達・回避・維持仕様を伴う非線形システムに対して、滑らかな逆Lyapunovバリア関数の定理を確立する。安定性と安全性の両方を証明する1つの滑らかなLyapunov関数の存在を示し、制御拡張と耐障害性の議論を用いて、到達・回避・維持仕様についても類似だがわずかに弱い結果を得る。

ABSTRACT

Stability and safety are two important aspects in safety-critical control of dynamical systems. It has been a well established fact in control theory that stability properties can be characterized by Lyapunov functions. Reachability properties can also be naturally captured by Lyapunov functions for finite-time stability. Motivated by safety-critical control applications, such as in autonomous systems and robotics, there has been a recent surge of interests in characterizing safety properties using barrier functions. Lyapunov and barrier functions conditions, however, are sometimes viewed as competing objectives. In this paper, we provide a unified theoretical treatment of Lyapunov and barrier functions in terms of converse theorems for stability properties with safety guarantees and reach-avoid-stay type specifications. We show that if a system (modeled as a dynamical system with measurable perturbations) possesses a stability with safety property, then there exists a smooth Lyapunov function to certify such a property. This Lyapunov function is shown to be defined on the entire set of initial conditions from which solutions satisfy this property. A similar but slightly weaker statement is made for reach-avoid-stay specifications. We show by a simple example that the latter statement cannot be strengthened without additional assumptions. We further extend the results for systems with control inputs and prove existence of converse Lyapunov-barrier functions for reach-and-avoid specifications. While the converse Lyapunov-barrier theorems are not constructive, as with classical converse Lyapunov theorems, we believe that the unified necessary and sufficient conditions with a single Lyapunov-barrier function are of theoretical interest and can hopefully shed some light on computational approaches.

研究の動機と目的

• 非線形力学的システムにおける安定性と安全性のためのLyapunov関数とバリア関数のアプローチを統合すること。
• 単一のLyapunovバリア関数を用いた安全制約付き安定性の理論的ギャップを埋めること。
• 制御入力を持つシステムにまでこの枠組みを拡張すること。
• 滑らかなLyapunovバリア関数を用いた安定性と安全性の必要十分条件を提供すること。
• 安全を最優先とする制御設計のための計算手法の理論的基盤を構築すること。

提案手法

• 漸近安定性と安全制約を、その性質が成り立つ初期条件の全集合上で定義された滑らかなLyapunov関数によって証明できる性質として定式化する。
• 耐障害性の議論を用いて、逆定理を到達・回避・維持仕様に拡張し、目標集合と安全集合を含むコンパクト集合Aと開領域Dを導入する。
• ドリフト項と摂動項を含む不等式を満たすD上での滑らかなLyapunov関数Vを定義する：sup_{d∈δ′ℬ} [L_f V(x,d) + L_g V(x)u + V(x)] ≤ 0。
• 安全集合WではB(x) ≥ 0、不安全集合UではB(x) < 0となるバリア関数Bを導入し、L_f B + L_g B u ≥ 0を満たすことで前向き不変性を保証する。
• リプシッツ連続な制御則κと摂動に対する耐障害性を用いて、到達・回避・維持の可制御性のもとで制御Lyapunovバリア関数の存在を証明する。
• 制御理論における逆定理と滑らか近似技術を適用し、Lyapunov関数のC^∞正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定可能な摂動を伴う非線形システムに対して、1つの滑らかなLyapunov関数が漸近安定性と安全性の両方を証明可能か？
• RQ2 到達・回避・維持仕様に対する逆Lyapunovバリア定理は、純粋な安定性と安全制約のものと同等の強さか？
• RQ3 制御入力を持つシステムに対して、滑らかな制御Lyapunovバリア関数が存在するための条件は何か？
• RQ4 追加の仮定なしに、到達・回避・維持仕様の逆定理を強化できるか？
• RQ5 Lyapunovバリア関数の理論的存在性は、安全を最優先とする制御における計算的構築手法にどのように寄与できるか？

主な発見

• 漸近安定性と安全制約の下では、その性質が成り立つ初期条件の全集合上で定義された滑らかなLyapunov関数が存在する。
• 到達・回避・維持仕様の下では、わずかに弱い逆定理が成り立ち、この制限は反例によって避けられないことが示された。
• 到達・回避・維持の可制御性のもとでは、加法的で測定可能な摂動を伴う場合でも、滑らかなLyapunovバリア関数の存在が保証される。
• 到達・回避・維持仕様が可制御である限り、制御入力を持つシステムに対して制御Lyapunovバリア関数が存在する。
• 結果は非構成的であるが、将来的な計算手法の設計を導くために必要な十分条件を提供する。
• 理論的枠組みは、安定性と安全性の証明を1つの滑らかな関数で統合し、従来の研究で見られた過剰に保守的な条件を回避する。