[論文レビュー] Smooth extension of functions on non-separable Banach spaces

M. J. Sevilla, Luis Sánchez-González|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Advanced Banach Space Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特定の非可分バナッハ空間の閉部分空間上で定義された $C^1$-滑らか（およびリプシッツ）な実数値関数が、全体空間へ $C^1$-滑らかに拡張可能であるための条件を確立する。主な結果は、$X$ が $c_0(\Gamma)$ の部分集合へ双リプシッツ同相である場合、かつその座標関数が $C^1$-滑らかであるならば、$X$ の閉部分空間 $Y \subset X$ 上の任意の $C^1$-滑らかな関数は、$X$ 上への $C^1$-滑らかな関数に拡張可能であり、そのリプシッツ定数は $X$ にのみ依存する一様定数倍以内に抑えられるということである。

ABSTRACT

Let us consider a Banach space $X$ with the property that every real-valued Lipschitz function $f$ can be uniformly approximated by a Lipschitz, $C^1$-smooth function $g$ with $\Lip(g)\le C \Lip(f)$ (with $C$ depending only on the space $X$). This is the case for a Banach space $X$ bi-Lipschitz homeomorphic to a subset of $c_0(\Gamma)$, for some set $\Gamma$, such that the coordinate functions of the homeomorphism are $C^1$-smooth. Then, we prove that for every closed subspace $Y\subset X$ and every $C^1$-smooth (Lipschitz) function $f:Y o\Real$, there is a $C^1$-smooth (Lipschitz, respectively) extension of $f$ to $X$. We also study $C^1$-smooth extensions of real-valued functions defined on closed subsets of $X$.

研究の動機と目的

• 非可分バナッハ空間の閉部分空間からその全体空間への $C^1$-滑らかおよびリプシッツ関数の拡張問題に取り組む。
• このような滑らかな拡張が存在することを保証するバナッハ空間 $X$ の幾何的条件を同定する。
• 元の関数のリプシッツ定数に対する拡張関数のリプシッツ定数の均一的制御を確立する。
• 適切な滑らかさおよび双リプシッツ埋め込み条件の下で、既知の可分空間への拡張結果を非可分バナッハ空間へ一般化する。
• $X$ の閉部分集合上で定義された $C^1$-滑らかな関数の拡張を検討する（部分空間に限らない）。

提案手法

• 論文は、バナッハ空間 $X$ がある添字集合 $\Gamma$ に対して $c_0(\Gamma)$ の部分集合へ双リプシッツ同相であると仮定している。
• $X$ から $c_0(\Gamma)$ への双リプシッツ同相写像の座標関数の滑らかさが、拡張の構成に不可欠である。
• 主要な技術的道具は、リプシッツ関数を、制御されたリプシッツ定数を持つ $C^1$-滑らかな関数で一様近似することである。
• 拡張は、$X$ への双リプシッツ埋め込みの構造と座標関数の滑らかさを用いて、部分空間 $Y \subset X$ 上の関数を $X$ 上に持ち上げることで構成される。
• 非可分設定における非線形関数解析および滑らかな分割関数の技術が、拡張の $C^1$-滑らかさを保証するために用いられる。
• 証明は、$c_0(\Gamma)$ が $C^1$-滑らかなバナッハ関数を備えていることを利用しており、これが拡張作用素の構築に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可分バナッハ空間 $X$ に対して、どのような幾何的条件を満たせば、$X$ の閉部分空間 $Y \subset X$ 上の任意の $C^1$-滑らかな関数が $X$ 上への $C^1$-滑らかな関数に拡張可能になるか？
• RQ2 拡張された関数のリプシッツ定数が、元の関数のリプシッツ定数の普遍的定数倍で抑えられるか？
• RQ3 $X$ が $c_0(\Gamma)$ へ双リプシッツ埋め込み可能であり、その座標関数が $C^1$-滑らかであるならば、滑らかな拡張が存在するか？
• RQ4 部分空間に限らず、$X$ の閉部分集合上で定義された関数に対しても $C^1$-滑らかな拡張が構成可能か？
• RQ5 埋め込みの座標関数の滑らかさが、拡張作用素の滑らかさにどのように影響するか？

主な発見

• バナッハ空間 $X$ が $c_0(\Gamma)$ の部分集合へ双リプシッツ同相であり、その座標関数が $C^1$-滑らかであるならば、$X$ の閉部分空間 $Y \subset X$ 上の任意の $C^1$-滑らかな関数は $X$ 上への $C^1$-滑らかな関数に拡張可能である。
• 拡張関数 $g$ に対して $\Lip(g) \leq C \Lip(f)$ が成り立ち、$C$ は $X$ のみに依存するため、リプシッツ定数の均一的制御が保証される。
• $X$ 上の任意の実数値リプシッツ関数は、制御されたリプシッツ定数を持つ $C^1$-滑らかな関数で一様近似可能である。
• 拡張の構成は、$X$ を $c_0(\Gamma)$ に双リプシッツ埋め込む際の座標関数の $C^1$-滑らかさに強く依存している。
• 同じ幾何的仮定のもとで、部分空間だけでなく、$X$ の閉部分集合上で定義された関数に対しても滑らかな拡張が可能である。
• この結果は、特定の幾何的および滑らかさの性質を有する非可分バナッハ空間へ、古典的な拡張定理を一般化するものである。