[論文レビュー] Smooth globally hyperbolic splittings and temporal functions

Antonio Bernal, Miguel Sánchez|ArXiv.org|Apr 20, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、安定因果的時空における滑らかなスカラー関数と滑らかな時空的カウチハイパーサーフェスの存在を示すことで、ローレンツ幾何学における長年の未解決問題を解決した。これにより、全相対的因果的時空が ℝ × S として滑らかに分解可能であることが保証され、各スライスが ∇T に直交する滑らかな時空的カウチハイパーサーフェスとなる。主な貢献は、全相対的因果的時空が滑らかな計量分解と、時間的勾配を持つ時間関数を有することを構成的証明で示したことである。

ABSTRACT

Geroch's theorem about the splitting of globally hyperbolic spacetimes is a central result in global Lorentzian Geometry. Nevertheless, this result was obtained at a topological level, and the possibility to obtain a metric (or, at least, smooth) version has been controversial since its publication in 1970. In fact, this problem has remained open until a definitive proof, recently provided by the authors. Our purpose is to summarize the history of the problem, explain the smooth and metric splitting results (including smoothability of time functions in stably causal spacetimes), and sketch the ideas of the solution.

研究の動機と目的

• 全相対的因果的時空が、時空的カウチハイパーサーフェスを伴い、計量に交差項のない ℝ × S として滑らかに分解可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• Gerochの位相的分解結果を滑らかさのカテゴリーに拡張し、安定因果的時空に滑らかな時間関数（時間的勾配を持つ）の存在を確立すること。
• Gerochの1970年の定理以降、未解決のままであった時間関数およびカウチハイパーサーフェスの滑らか化問題に対して、構成的解決を提供すること。
• 初期値問題、モース理論、変分法などの数学的相対論的応用を可能にするために、全相対的因果的時空に滑らかな構造を保証すること。
• Seifertの1977年の滑らか化手法に起因する欠落を補い、滑らかな時間関数および分解を完全に構成的かつ厳密に提供すること。

提案手法

• 安定因果的時空に連続時間関数が存在することを根拠に、時間関数を滑らかに正規化可能な局所的有限被覆を構成する。
• コンパクト集合上で滑らかで、因果曲線に沿って厳密に増加し、時間的勾配を持つ局所的時間ステップ関数 τ_t を、Partition of Unity と注意深く制御されたカットオフ関数を用いて定義する。
• 重み付き和としてのグローバル時間関数 T を構成し、滑らかさと全時空における勾配の非消滅を保証する係数を選択する。
• グローバル時間関数 T の勾配を用いて、M ≅ ℝ × S というグローバルな滑らかな分解を定義する。各スライス {t₀} × S は、∇T に直交する滑らかな時空的カウチハイパーサーフェスである。
• 時間的勾配を持つ関数（例：h⁺ と h⁻）の凸結合に基づく正規化技術を適用し、所望の領域で非消滅で時間的勾配を持つ関数が得られるように保証する。
• 任意の安定因果的時空が連続時間関数を有することを根拠に、その局所的滑らか化をPartition of Unity とコンパクトな被覆を用いてグローバルな滑らかな時間関数に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全相対的因果的時空は、時空的カウチハイパーサーフェスを伴い、交差項のない計量を持つ ℝ × S として滑らかに分解可能か？
• RQ2 すべての安定因果的時空は、滑らかな時間関数（すなわち、時間的勾配を持つ滑らかな関数）を有するか？
• RQ3 連続時間関数を有する時空に対して、滑らかでグローバルに定義された時間関数を構成可能か？
• RQ4 Gerochの定理における全相対的因果的時空の位相的分解を、滑らかで計量に適合する分解に高めることができるか？
• RQ5 全相対的因果的時空におけるカウチハイパーサーフェスは、もともとは位相的であるにせよ、滑らかで時空的であるように滑らかにできるか？

主な発見

• 全相対的因果的時空は、滑らかな時空的カウチハイパーサーフェス S を有する。これは、双曲型偏微分方程式に対する滑らかな初期値問題を定式化するための必要条件である。
• すべての安定因果的時空は、時間的勾配を持つ滑らかな時間関数 T を有する。これは因果理論における長年の未解決問題を解消した。
• 構成されたグローバル時間関数 T は、グローバル時間関数である。すなわち、∇T は全時空で時間的かつ非消滅であり、時空が ℝ × S として滑らかに分解可能であることを保証する。
• 滑らかな分解 M ≅ ℝ × S は計量に適合しており、各スライス {t₀} × S は ∇T に直交するため、計量は積構造上で dt² + g_S の形を取る。
• この構成は完全に構成的であり、Partition of Unity と時間関数の局所的正規化（時間的勾配を持つ関数を用いて）に依存する。
• この手法は、全相対的因果的時空に限らず、連続時間関数を有する任意の安定因果的時空に適用可能であり、グローバルな滑らかな時間関数を導く。