[論文レビュー] Smooth input preparation for quantum and quantum-inspired machine learning

Zhikuan Zhao, Jack Fitzsimons+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般のエントリごとのクエリモデルにおいて、量子および量子インスパイアド機械学習アルゴリズムが、入力データが微小な摂動に対して頑健である場合に、アモニウム符号化による状態準備とℓ2-サンプリングが定数クエリで達成可能であることを示すことで、多対数時間計算量を達成できることを証明している。主な結果は、滑らかさ解析により、現実的でノイズのある機械学習環境でも効率的な状態準備が可能であることが示され、Kerenidis-Prakashモデルのような特殊なデータ構造の必要性がなくなることである。

ABSTRACT

Machine learning has recently emerged as a fruitful area for finding potential quantum computational advantage. Many of the quantum enhanced machine learning algorithms critically hinge upon the ability to efficiently produce states proportional to high-dimensional data points stored in a quantum accessible memory. Even given query access to exponentially many entries stored in a database, the construction of which is considered a one-off overhead, it has been argued that the cost of preparing such amplitude-encoded states may offset any exponential quantum advantage. Here we prove using smoothed analysis, that if the data-analysis algorithm is robust against small entry-wise input perturbation, state preparation can always be achieved with constant queries. This criterion is typically satisfied in realistic machine learning applications, where input data is subjective to moderate noise. Our results are equally applicable to the recent seminal progress in quantum-inspired algorithms, where specially constructed databases suffice for polylogarithmic classical algorithm in low-rank cases. The consequence of our finding is that for the purpose of practical machine learning, polylogarithmic processing time is possible under a general and flexible input model with quantum algorithms or quantum-inspired classical algorithms in the low-rank cases.

研究の動機と目的

• 量子および量子インスパイアド機械学習アルゴリズムにおける効率的な入力状態準備の重要な課題に取り組む。
• 特に、アモニウム符号化が最悪ケースでΩ(√D)クエリを要する場合に、状態準備コストが量子的優位性を相殺するという一般的な批判を克服する。
• 現実の機械学習アルゴリズムが微小なエントリごとの摂動に対して頑健であることを示し、効率的な準備が可能であることを実証する。
• 量子アモニウム符号化と古典的ℓ2-サンプリングの両方が、この頑健性仮定の下で定数クエリで達成可能であることを示す。
• 一般の入力アクセスの下で多対数時間計算量が達成可能であることを証明することで、量子インスパイアドアルゴリズムにおける特殊なデータ構造（例：Kerenidis-Prakashツリー）の必要性を排除する。

提案手法

• 現実的でノイズのある入力ノイズをモデル化するため、滑らかさ解析を適用し、実際の状況ではデータエントリに微小な摂動が一般的であると仮定する。
• オракルによるエントリごとのデータアクセスのみを許容する一般的な入力モデルを定義し、事前計算された部分和の利用を排除する。
• ∞-ノルム摂動（すなわち、|x′ − x|∞ ≤ ϵ）に対する頑健性が、定数クエリでアモニウム状態準備に高い成功確率をもたらすことを示す。
• 制御回転と後選択を用いた量子アモニウム符号化の構造を活用し、ノイズ下でも成功確率がゼロから離れていることを示す。
• 量子インスパイアドアルゴリズムにおける古典的ℓ2-サンプリングへと議論を拡張し、特殊なデータ構造なしに多対数時間計算量が達成可能であることを示す。
• 滑らかさ複雑度理論を用いて形式的に議論を展開し、データ次元Dに依存しない定数の期待クエリ数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実的でノイズのある入力ノイズ下で、量子アモニウム符号化が定数クエリ複雑度で達成可能か？
• RQ2 機械学習アルゴリズムが微小な入力摂動に対して頑健である場合、特殊なデータ構造が存在しない環境でも効率的な状態準備が可能か？
• RQ3 量子インスパイアド古典的アルゴリズムは、Kerenidis-Prakash風のデータ構造に依存せず、多対数時間計算量を達成可能か？
• RQ4 現実的ノイズモデル下で、アモニウム符号化の滑らかさ複雑度は定数で有界か？
• RQ5 ∞-ノルム頑健性仮定は、入力準備における高価な事前計算された部分和の必要性をどの程度緩和するか？

主な発見

• 任意の∞-ノルム摂動εに対して頑健な入力ベクトルに対して、量子アモニウム符号化はデータ次元Dに依存しない定数クエリ複雑度で達成可能である。
• 微小なエントリごとの摂動下でも、後選択による状態準備の成功確率はゼロから離れて保たれ、期待クエリ数が定数であることが保証される。
• 同じ頑健性仮定の下で、事前計算された部分和へのアクセスがなくても、古典的ℓ2-サンプリングは多対数時間計算量で達成可能である。
• 一般のエントリごとのアクセスの下で、Kerenidis-Prakashツリーのような特殊なデータ構造の必要性が量子インスパイアドアルゴリズムから排除される。
• アモニウム符号化の滑らかさ複雑度はO(1)であり、現実的ノイズモデル下でデータ次元Dに依存しない期待クエリ数である。
• 入力ベクトルに少数の大きなエントリが存在する場合でも、アルゴリズムが個々のエントリの微小な変化に頑健であれば、この結果は成り立つ。