[論文レビュー] Smooth Modules over Lie Algebroids I

Rolf Kaellstroem|ArXiv.org|Aug 26, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Lie代数準束上の滑らかモジュールの概念を導入し、Dモジュール理論を一般化する。滑らかさは、Lie部分代数準束 g′_X における D(g′_X)-部分モジュールを生成する、一貫性のある O_X-部分モジュールを用いて定義される。本稿は、余次元 ≥2 における延長に関する基礎的結果、逆像および順像における保存性、曲線テストを確立し、正則特異点をもつ g_X-モジュールに関する、新たな明確な証明を提供する。

ABSTRACT

A Lie algebroid on a variety X/k is an extension α: g_X o T_X of the tangent sheaf both as O_X-module and Lie algebra over the base field, with the obvious compatibilities; and given a Lie algebroid one has its associated ring of differential operators D(g_X). Letting g'_X be some Lie sub-algebroid of g_X, a smooth coherent g_X-module M is one in which any (locally defined) coherent O_X-submodule M_0 \subset M generates a g'_X-submodule D(g'_X)M_0 that remains coherent over O_X. Depending on the choice of g'_X one gets in this way interesting classes of g_X-modules, where probably the most important one is that of g_X-modules with regular singularities. The paper is concerned with this notion of smoothness, including results about prolongation of smoothness over codimension \geq 2, preservation of smoothness for inverse and direct images of g_X-modules, and curve tests. In particular we treat g_X-modules with regular singularities, generalizing some of the main theorems for D-modules with new and hopefully transparent proofs.

研究の動機と目的

• Lie代数準束上のモジュールの滑らかさの概念を形式化・一般化し、古典的 Dモジュール理論を拡張すること。
• Lie代数準束の文脈において、逆像および順像函手による滑らかモジュールの挙動を研究すること。
• 滑らかさの局所的検証を可能にする、曲線テストを構築すること。
• 正則特異点をもつ g_X-モジュールに関する主要定理に対して、新たな明確な証明を提供すること。
• 余次元 ≥2 の部分多様体を越えて滑らかさがどのように拡張されるかを調査し、一貫性が保たれることを保証すること。

提案手法

• 任意の一貫性のある O_X-部分モジュールが、Lie部分代数準束 g′_X に関して D(g′_X)-部分モジュールを生成するとき、g_X-モジュールを滑らかと定義する。
• 体 k 上の多様体 X における Lie代数準束 g_X に関連する微分作用素 D(g_X) の理論を適用する。
• 余次元 ≥2 の部分多様体を越えて滑らかさの性質を拡張するために、延長技術を用いる。
• 滑らかさを局所的に検証するために、X 内の滑らかな曲線への制限を用いる曲線テストを採用する。
• 逆像および順像函手を用いて、異なる g_X-モジュールの圏間での滑らかさを移動させる。
• T_X と O_X-モジュール構造との間の Lie代数準束構造の整合性を活用し、一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dモジュールの滑らかさの概念を、Lie代数準束上のモジュールへどのように一般化できるか？
• RQ2 g_X-モジュールに関して、逆像および順像函手によって滑らかさが保存される条件は何か？
• RQ3 滑らかさは曲線への制限によってテスト可能か？実際にはどのように機能するか？
• RQ4 余次元 ≥2 の部分多様体を越えて滑らかさがどのように拡張されるかを保証する条件は何か？
• RQ5 この一般化された枠組みを用いて、Dモジュールの正則特異点の理論を再導出できるか？

主な発見

• 滑らかモジュールの逆像および順像函手による保存性は、対応する準同型が滑らかである限り保たれる。
• 余次元 ≥2 の部分多様体を越えて滑らかさを延長でき、周囲空間における一貫性が維持される。
• 曲線テストが確立された：g_X-モジュールの滑らかさは、X 内の滑らかな曲線への制限によって検証可能である。
• 本理論は、正則特異点をもつ g_X-モジュールに関する古典的結果に対して、新たな明確な証明を提供する。
• 微分作用素と一貫性条件の取り扱いを統一することで、Dモジュール理論を一般化する枠組みを提供する。
• 任意の滑らか g_X-モジュール M の一貫性のある O_X-部分モジュール M_0 に対して、g′_X が g_X の Lie 部分代数準束である限り、D(g′_X)M_0 の一貫性が保証される。