[論文レビュー] Smooth norms and approximation in Banach spaces of the type C(K)

Petr Hájek, Richard Haydon|ArXiv.org|Oct 12, 2006

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$σ$-離散なコンパクトな散乱空間 $K$ 上の連続関数空間 $σ(K)$ が、局所的に一様に回転する（LUR）双対ノルムを備えた同値ノルムを持つ場合、常に同値な $σ^\infty$ ノルムを持つことを確立している。主な結果は、Orlicz型ノルムと陰関数定理を用いた構成的証明であり、このような滑らかなノルムが有界集合上でessentially 絶対ノルムを一様近似できることを示している。

ABSTRACT

We prove two theorems about differentiable functions on the Banach space C(K), where K is compact. (i) If C(K) admits a non-trivial function of class C^m and of bounded support, then all continuous real-valued functions on C(K) may be uniformly approximated by functions of class C^m. (ii) If C(K) admits an equivalent norm with locally uniformly convex dual norm, then C(K) admits an equivalent norm which is of class C^infty (except at 0).

研究の動機と目的

• LUR双対ノルム条件の下で $σ^1$ 滑らかさが $σ^\infty$ 滑らかさを含むことを示すことで、$σ(K)$ 空間における滑らかな近似に関する長年の未解決問題を解決すること。
• 双対ノルムがLURである場合、$σ(K)$ 上の連続関数が有界集合上で $σ^\infty$ 関数によって一様近似可能であることを示すこと。
• Orlicz関数と陰関数定理を用いて、$σ(K)$ 上に明示的な $σ^\infty$ 同値ノルムを構成すること。
• $K$ が $σ$-離散である場合に、$σ(K)$ 上の上界ノルムが有界集合上で $σ^\infty$ ノルムによって一様近似可能であることを確立すること。

提案手法

• 各 $t$ に対して、$\phi_t(x) = 0$（$x \leq \alpha(t)$）かつ $\phi_t(x) > 1$（$x \geq \beta(t)$）を満たす $\mathbb{R}^+$ 上のOrlicz関数 $\phi_t$ を定義し、$0 < \alpha(t) < \beta(t) < 1$ とする。
• 非線形作用素の枠組みを用いて、$\|f\|_{\phi(\cdot)} = \inf\{\rho > 0 : \Psi(f, \rho) = 1\}$ と定義されるノルムを構成する。ここで $\Psi(f, \rho) = \sum_t \phi_t(\rho^{-1}|f(t)|)$ である。
• 偏導関数 $\text{D}_2\Psi$ が消えないことを利用し、陰関数定理を適用することで、$\|\cdot\|_{\phi(\cdot)}$ が $\mathcal{C}(K) \setminus \{0\}$ 上で $\mathcal{C}^\infty$ であることを示す。
• $K$ の $\sigma$-離散性を用いて、$D_i$ を離散集合に分解し、$\alpha(t) = \prod \{r_i : t \in \overline{D}_i\}$ および $t \in D_j$ のとき $\beta(t) = \alpha(t) \cdot r_j$ と定義することで、$\alpha(t) < \beta(t)$ を保証する。
• $\|f\|_\infty \leq \|f\|_{\phi(\cdot)} \leq \alpha^{-1}\|f\|_\infty$（$\alpha = \prod r_i$）を満たすことを証明し、$\|\cdot\|_\infty$ が $\mathcal{C}^\infty$ ノルムによって一様近似可能であることを可能にする。
• 収束列 $t_n \to t$ を用いた背理法と、補題6（$\beta(t) \leq \liminf \alpha(t_n)$）を用いて、ノルムの定義の正当性と滑らかさを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 \mathcal{C}(K) 上に局所的に一様に回転する（LUR）双対ノルムを備えた同値ノルムが存在する場合、同値な $\mathcal{C}^\infty$ ノルムが存在するか？
• RQ2 $K$ が $\sigma$-離散で、$\mathcal{C}(K)^*$ にLUR双対ノルムが存在する場合、$\mathcal{C}(K)$ 上の連続関数は $\mathcal{C}^\infty$ 関数によって一様近似可能か？
• RQ3 Orlicz型関数と非線形作用素を用いて、$\mathcal{C}(K)$ 上に明示的な $\mathcal{C}^\infty$ 同値ノルムを構成可能か？
• RQ4 $K$ が $\sigma$-離散であると仮定した場合、$\mathcal{C}(K)$ 上の上界ノルムが有界集合上で $\mathcal{C}^\infty$ ノルムによって一様近似可能か？
• RQ5 コンパクト空間 $K$ にどのような条件が課されると、$\mathcal{C}(K)$ が $\mathcal{C}^\infty$ リノーミングを有するようになるか、特にLUR双対ノルムの存在との関係で？

主な発見

• もし $\mathcal{C}(K)^*$ に同値なLUR双対ノルムが存在するならば、$\mathcal{C}(K)$ は同値な $\mathcal{C}^\infty$ ノルムを持つ。これは $\mathcal{C}(K)$ 空間における予想の特別な場合を解決する。
• 構成された $\mathcal{C}^\infty$ ノルムは、$\|f\|_\infty \leq \|f\|_{\phi(\cdot)} \leq \alpha^{-1}\|f\|_\infty$ を満たし、$\alpha = \prod r_i$ であり、$\alpha$ を1に限りなく近づけることができる。
• $\text{D}_2\Psi$ が消えないことから、$\|f\|_{\phi(\cdot)}$ は $\mathcal{C}(K) \setminus \{0\}$ 上で $\mathcal{C}^\infty$ であることが保証され、陰関数定理の適用が可能になる。
• 証明は $K$ の $\sigma$-離散性に依存しており、$D_i$ への分解と、$\alpha(t)$ および $\beta(t)$ の構成により、Orlicz関数を定義する。
• 任意の収束列 $t_n \to t$ に対して $\beta(t) \leq \liminf \alpha(t_n)$ が成り立つことが示され、これはノルム構成における病理的挙動を排除するために不可欠である。
• この結果により、連続関数が有界集合上で $\mathcal{C}^\infty$ 関数によって一様近似可能であることが保証され、元のノルムが $\mathcal{C}^\infty$ でなくても成立する。