[論文レビュー] Smooth perfectness through decomposition of diffeomorphisms into fiber preserving ones

Stefan Haller, Josef Teichmann|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、複数のファイバー束構造が存在し、それらの垂直分布が接束を張る閉じた滑らかな多様体上で、恒等写像に十分近い任意の微分同相写像が、ファイバーを保存する微分同相写像の積に滑らかに分解可能であることを確立する。この分解とねんみん逆関数定理を用いて、著者らは微分同相写像群が滑らかに完全であることを証明し、このような微分同相写像を表現するために必要な交換子の数の明示的かつ定量的な上界を提示する。

ABSTRACT

We show that on a closed smooth manifold $M$ equipped with $k$ fiber bundle structures whose vertical distributions span the tangent bundle, every smooth diffeomorphism $f$ of $M$ sufficiently close to the identity can be written as a product $f=f_1... f_k$, where $f_i$ preserves the $i^{ ext{th}}$-fiber. The factors $f_i$ can be chosen smoothly in $f$. We apply this result to show that on a certain class of closed smooth manifolds every diffeomorphism sufficiently close to the identity can be written as product of commutators and the factors can be chosen smoothly. Furthermore we get concrete estimates on how many commutators are necessary.

研究の動機と目的

• 閉多様体上の微分同相写像群の滑らかな完全性を、ファイバー束分解を用いて確立すること。
• 恒等写像に近い微分同相写像を表現するために必要な交換子の数の明示的かつ定量的な上界を提供すること。
• 微分同相写像をファイバーを保存する写像の積に分解することが、微分同相写像において滑らかに行えることを示すこと。
• 既知の完全性に関する結果を、奇数次元球面やコンパクトなリー群を含む広範な多様体のクラスに拡張すること。
• ねんみんフレシェ空間の圏におけるナッシュ＝モーザー逆関数定理を用いて、分解および交換子因子分解における滑らかさを達成すること。

提案手法

• 微分同相写像群の無限次元性に対処するため、ねんみんフレシェ空間の圏におけるナッシュ＝モーザー逆関数定理を用いる。
• 滑らかさと必要な写像の可逆性を保証するため、ねんみん推定とねんみん同型を適用する。
• 小さな微分同相写像を個々のファイバー束構造を保存する微分同相写像の積に表現する分解定理を用いる。
• ファイバーを保存する微分同相写像は、その垂直分布のセクションとして与えられるリー部分群をなすことを用いる。
• 指数写像とバーム関数を用いたパrameter化技術を用いて、微分同相写像の局所的因子分解を構成する。
• 分解を、ゲージ群およびファイバーごとの自己同型群の完全性に関する結果と組み合わせることで、全微分同相写像群のグローバルな完全性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接束 $TM$ を張る複数のファイバー束構造を持つ閉多様体 $M$ 上で、恒等写像に十分近い任意の微分同相写像は、各ファイバー束構造を保存する微分同相写像の積に書けるか？
• RQ2 このような分解は微分同相写像において滑らかに行えるか？
• RQ3 すべてのこのような微分同相写像は交換子の積に表現可能であり、その場合に必要な交換子の数はどの程度か？
• RQ4 恒等写像に近い微分同相写像を表現するために必要な交換子の数の明示的上界を導出可能か？
• RQ5 奇数次元球面やコンパクトなリー群などの、どのような多様体クラスが、このような滑らかな完全性の結果を満たすか？

主な発見

• 閉多様体 $M$ に $k$ 個のファイバー束構造があり、それらの垂直分布が $TM$ を張るとき、恒等写像に十分近い任意の微分同相写像 $f$ は、$f = f_1 \times \times f_k$ の形に滑らかに分解可能であり、各 $f_i$ は $i$ 番目のファイバー束を保存する。
• 分解の因子 $f_i$ は $f$ に関して滑らかに依存しており、滑らかなパrameter空間においても有効である。
• すべてのファイバーの構造群 $\operatorname{Diff}(S_i)$ が滑らかに完全である限り、微分同相写像群 $\operatorname{Diff}(M)$ は滑らかに完全である。
• 奇数次元球面 $S^{2n+1}$ に対しては、ホップファイバー束がファイバー束構造を提供し、本論文では $N_{\operatorname{Diff}(S^{3})} \leq 18$ を示しており、交換子の数に対する明示的上界を与える。
• コンパクトなリー群 $G$ に対しては、$TG$ を張る $\dim G$ 個の $S^1$-ファイバー束構造が存在し、$N_{\operatorname{Diff}(G)} \leq 3(\dim G)^2$ の上界が得られる。
• この結果は、ゲージ群やベクトル束のファイバーごとの構造（例えば計量、シンプレクティック形式）に関する自己同型群にも拡張され、それらが明示的な交換子上界とともに滑らかに完全であることが示される。