[論文レビュー] Smooth representations of GL_m(D) VI : semisimple types

Vincent Sécherre, Shaun Stevens|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非離散局所体上の除法代数 D における GL_m(D) の滑らかで複素数値表現の型理論を完成させる。各ベーツィン分解におけるインertial類に対して半単純型を構成し、それに関連するヘッケ代数が型 A のアフィンヘッケ代数の積に同型であることを証明する。これにより、表現の圏がこの構造によって完全に分類される。

ABSTRACT

We give a complete description of the category of smooth complex representations of the multiplicative group of a central simple algebra over a locally compact nonarchimedean local field. More precisely, for each inertial class in the Bernstein spectrum, we construct a type and compute its Hecke algebra. The Hecke algebras that arise are all naturally isomorphic to products of affine Hecke algebras of type A. We also prove that, for cuspidal classes, the simple type is unique up to conjugacy.

研究の動機と目的

• 非離散局所体上での GL_n の内型である GL_m(D) の滑らかな複素表現の型理論を完成させること。
• ベーツィン分解を用いて滑らかな表現の圏を記述し、各インertial類に対して明示的な型を構成すること。
• これらの型に関連する球面的ヘッケ代数を計算し、それが型 A のアフィンヘッケ代数の積に同型であることを示すこと。
• 主成分のインertial類に対して、単純型が共役を除いて一意であることを証明すること。
• ストラトゥム、単純な字、および内包的クラス理論を用いて、ブルシュネル–クッツコの型理論を一般線型群の内型へ拡張すること。

提案手法

• GL_m(D) の各インertial類 [L, π]_G に対して、コンパクト開部分群 K とその上の既約表現 ρ からなる型 (K, ρ) を構成する。
• 単純ストラトゥムと単純な字を用いて、ラティス列と関連するヘッケ代数を通じて型のカバーを構築する。
• 内包的クラス理論と ps-字の共通近似を用いて、レヴィ部分群全体にわたる整合性のある型を構成する。
• 型の相互作用と共役性の理論を活用し、構成された型が正しい表現の部分圏を生成することを保証する。
• ヘッケ代数 H(G, τ) と H(M, λ_M) 間のサポートを保存する同型を確立し、問題をより小さなレヴィ部分群に還元する。
• 単純成分の数に関する帰納法と、内包的同値における t の最小性を活用し、型を再帰的に構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_m(D) の滑らかな複素表現の圏は、型理論を用いてどのように完全に分類可能か？
• RQ2 GL_m(D) の型に関連する球面的ヘッケ代数の構造は何か？
• RQ3 主成分のインertial類に対して、GL_m(D) 内で半単純型は共役を除いて一意的か？
• RQ4 内包的同値な ps-字と単純な字の共通近似は、型の構成にどのように寄与するか？
• RQ5 この設定で生じるヘッケ代数は、型 A のアフィンヘッケ代数の積にどの程度まで同型であるか？

主な発見

• GL_m(D) のベーツィンスペクトルにおける任意のインertial類に対して、型 (K, ρ) が存在し、その主成分をもつ滑らかな表現の圏は、球面的ヘッケ代数 H(G, ρ) のモジュールの圏と同値である。
• 球面的ヘッケ代数 H(G, ρ) は自然に、型 A のアフィンヘッケ代数 H(r_i, q_F^{f_i}) の有限テンソル積に同型であり、ここで r_i, f_i は整数、q_F は残渣体の元の個数である。
• 主成分のインertial類に対して、単純型は GL_m(D) 内で共役を除いて一意的である。
• 型の構成は、ラティス列、単純ストラトゥム、および内包的クラス近似を用いた再帰的メソッドに依存し、ヘッケ代数のサポートを保存する同型が得られる。
• ヘッケ代数の構造は、表現空間の分解と単純な字の内包的クラスデータから得られる不変量 r_i, f_i によって完全に決定される。
• 本結果により、ブルシュネル–クッツコ計画が GL_n の内型へ拡張され、GL_m(D) の滑らかな複素表現の型とヘッケ代数を用いた完全分類が達成された。