[論文レビュー] Smooth rigidity for 3-dimensional volume preserving Anosov flows and weighted marked length spectrum rigidity

Andrey Gogolev, Federico Rodriguez Hertz|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元体積保存型アノソフ流れに対して、これまでの仮定よりも弱い条件下で、滑らかさの剛性定理を確立する。もしそのような2つの流れが位相的同型であるならば、両方がアノソフトーラス自己同型の定数ルーフサスペンションである場合を除き、同型写像は滑らかである。この結果により、周期軌道における安定・非安定固有値が一致することを仮定する必要がなくなり、周期の一致に依拠する。応用として、マークド長スペクトルの剛性および2次元トーラス上のアノソフ微分同相写像の剛性に関する新結果が得られる。

ABSTRACT

Let $X_1^t$ and $X_2^t$ be volume preserving Anosov flows on a 3-dimensional manifold $M$. We prove that if $X_1^t$ and $X_2^t$ are $C^0$ conjugate then the conjugacy is, in fact, smooth, unless $M$ is a mapping torus of an Anosov automorphism of $\mathbb T^2$ and both flows are constant roof suspension flows. We deduce several applications. Among them is a new result on rigidity of Anosov diffeorphisms on $\mathbb T^2$ and a new "weighted" marked length spectrum rigidity result for surfaces of negative curvature.

研究の動機と目的

• これまでに知られていたものよりも弱い仮定の下で、3次元体積保存型アノソフ流れの滑らかさの剛性を確立すること。
• 安定・非安定固有値の一致を仮定せずに、周期の一致だけから滑らかな同型写像が得られるかどうかを検証すること。
• 低次元の双曲的力学における構造的剛性問題を解消し、滑らかな同型写像の唯一の障害を特定すること。
• 得られた結果を応用して、2次元トーラス上のアノソフ微分同相写像および負曲率を持つ多様体上の重み付きマークド長スペクトルに関する新しい剛性定理を証明すること。

提案手法

• 3次元多様体上の $ C^r $（$ r>2 $）体積保存型アノソフ流れの2つ間の同型写像を出発点とする。
• 周期軌道における線形化されたポアンカーレ還流写像の固有値に注目し、同型写像の滑らかさの障害を分析する。
• ジェールヌの正則性補題を用いて、一般状況下で $ C^0 $ 同型写像を $ C^{r_*} $ 滑らかさに高める。
• 例外的な場合の特定：両流れが $ \mathbb{T}^2 $ 上のアノソフ自己同型の定数ルーフサスペンションである場合、固有値の一致が不可欠となる。
• 均衡状態と熱力学的形式主義を用いて、重み付きマークド長スペクトルを分析し、コサイクル差のコhomological性質を活用する。
• 代替リヴシッツ定理を適用して、コサイクル差がゼロにコhomologousであるならば、元のコサイクルがコバウンダリーであることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元体積保存型アノソフ流れの $ C^0 $ 同型写像が、どのような条件下で滑らかな同型写像に拡張可能か？
• RQ2 対応する周期軌道における安定・非安定固有値が一致することを仮定せずに、同型写像の滑らかさを確立できるか？
• RQ3 固有値の一致がない状況下で、滑らかな同型写像の障害は何か、そしてそれが最小であるか？
• RQ4 この結果を負曲率を持つ多様体上の重み付きマークド長スペクトルの剛性に拡張できるか？
• RQ5 $ \mathbb{T}^2 $ 上の $ C^r $ アノソフ流れの間の同型写像が、固有値の一致を仮定せずとも滑らかであるか？そしてこれは力学にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $ C^r $（$ r>2 $）体積保存型アノソフ流れの2つが3次元多様体上で定義されているとき、$ C^0 $ 同型写像は、両方が $ \mathbb{T}^2 $ 上のアノソフ自己同型の定数ルーフサスペンションである場合を除き、$ C^{r_*} $ 滑らかである。
• 滑らかな同型写像の唯一の障害は、定数ルーフサスペンションの例外的な場合であり、この場合には固有値の一致が不可欠である。
• この結果により、$ \mathbb{T}^2 $ 上の $ C^r $ アノソフ微分同相写像に対する新しい剛性定理が導かれる：同型写像は滑らかな同型写像である。
• 負曲率を持つ多様体上での重み付きマークド長スペクトルについて、新しい剛性定理が確立される。ここで、ホーラー関数で重み付けられたスペクトルは、等長写像を除き計量を一意に決定する。
• 証明の根幹は、2つのコサイクルの均衡状態が一致するならば、その差がゼロにコhomologousであるという事実に依拠しており、これは代替リヴシッツ定理によりコサイクルがコバウンダリーであることを示唆する。
• 鍵となる技術的ステップは、集合 $ \{1,\dots,N+1\}^N $ から有限個の測度への写像が、2つの異なる逆像が同じ測度に写る必要があることを示すピッグホール原理の応用であり、これによりコホモロジー的結論が得られる。