[論文レビュー] Smooth shifts along flows

Sergiy Maksymenko|ArXiv.org|Jun 24, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の滑らかなフローの葉層を保存する微分同相写像の単位パス成分のホモトピー型を調査する。軌道に沿ったシフト写像を用いて、固定点にやや緩い条件が満たされる場合、空間は可縮であるか、または円周 S¹ にホモトピー同値であり、シフト写像は ℤ-スライスを伴う被覆写像またはホメオモルフィズムであることを示す。

ABSTRACT

Let $Φ$ be a flow on a smooth, compact, finite-dimensional manifold $M$. Consider the subsets $E(Φ)$ and $D(Φ)$ of $C^{\infty}(M,M)$ consisting of smoothh mappings and diffeomorphisms (respectively) of $M$ preserving the foliation of the flow $Φ$. Let also $E_{0}(Φ)$ and $D_{0}(Φ)$ be the identity path components of $E(Φ)$ and $D(Φ)$ with compact-open topology. We prove that under mild conditions on fixed points of $Φ$ the inclusion $D_{0}(Φ) \subset E_{0}(Φ)$ is a homotopy equivalence and these spaces are either contractible or homotopically equivalent to the circle.

研究の動機と目的

• 滑らかなフローが定義されたコンパクト多様体上での、葉層を保存する微分同相写像の単位パス成分のホモトピー型を特定すること。
• 軌道に沿ったシフト写像の像を、フローリーファイブレーションを保存する微分同相写像の部分集合として特徴づけること。
• シフト写像が ℤ-スライスを伴う被覆写像またはホメオモルフィズムである条件を確立すること。
• 滑らかな実数値関数の空間におけるシフト写像の逆像集合の凸性を分析すること。
• 像およびパス成分の閉包性と位相的構造を、ホイットニー位相において調査すること。

提案手法

• 関数 α に対して φ(α)(x) = Φ(x, α(x)) で定義されるシフト写像 φ: C∞(M,ℝ) → C∞(M,M) を導入し、フローアトラクトに沿った微分同相写像を写像する。
• φ が、フローリーファイブレーションを保存する微分同相写像の空間の単位パス成分 D₀(Φ) に値をとることを証明する。
• φ⁻¹(id_M) が C∞(M,ℝ) の部分群 Z_id であることを示し、φ のファイバーがこの部分群の陪集合であることを示す。
• Int(Fix Φ) = ∅ である条件のもとで、Im φ 上のホイットニー位相と誘導位相が一致することを確立し、φ がホメオモルフィズムまたは被覆写像であることを示す。
• Γ₊Φ および Γ₋Φ（向きを保つ／反転する微分同相写像に写す C∞(M,ℝ) の部分集合）の凸性を用いて、D₀(Φ) の構造を分析する。
• 固定点の局所線形化に関する定理を適用し、Im φ = E₀(Φ) および φ(Γ₊Φ) = D₀(Φ) を示し、主なホモトピー分類を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フローを保存する微分同相写像の空間 D₀(Φ) が可縮であるか、S¹ にホモトピー同値であるのはどのような条件下か？
• RQ2 シフト写像 φ: C∞(M,ℝ) → C∞(M,M) がホメオモルフィズムまたは ℤ を被覆スライスの群とする被覆写像であるのはいつか？
• RQ3 シフト写像の像の位相は、C∞(M,M) 上のホイットニー位相およびコンパクト開位相とどのように関係するか？
• RQ4 φ における逆像集合の凸性と、D₀(Φ) および E₀(Φ) の構造との関係は何か？
• RQ5 特に、フローに稠密な軌道または非閉軌道がある場合に、E₀(Φ) の閉包について何が言えるか？

主な発見

• Φ の各固定点が p∘Φ_t = Ψ_t∘p を満たす局所線形モデルを持つ条件のもとで、シフト写像 φ の像は E₀(Φ) に等しく、φ はホメオモルフィズムまたは ℤ を被覆スライスの群とする被覆写像である。
• φ⁻¹(D₀(Φ)) は線形空間 C∞(M,ℝ) 内で凸であり、D₀(Φ) は可縮であるか、S¹ にホモトピー同値である。
• M がコンパクトで、Φ が非閉軌道をもつ、またはある固定点における接空間上の線形フローが自明である場合、D₀(Φ) および E₀(Φ) は可縮である。
• Z_id = φ⁻¹(id_M) が自明または ℤ に同型であることは、Fix Φ の内部が空であることに同値である。
• 固定点のない無理数フローを備えた n-トーラス Tⁿ において、φ の像は C∞(Tⁿ,Tⁿ) の単位パス成分において稠密であるが、Im φ の閉包が全パス成分に一致するかは不明である。
• ある軌道 ω について Int(ω̅) ≠ ∅ かつ f ∈ cl(Im φ) \ Im φ を満たし、f(z) が z の軌道上にない場合、φ(z, t_i) → f(z) を満たす時間パrameter t_i は lim t_i = ∞ を満たす必要がある。