[論文レビュー] Smooth Siegel disks via semicontinuity: a remark on a proof of Buff and Cheritat

Artur Avila|ArXiv.org|May 19, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、YoccozおよびRislerによる再帰的理論の既知の結果と、上半連続性と弱下位半連続性の議論を組み合わせることで、滑らか（C∞）な境界をもつ二次のシーゲル円板の存在を簡潔に証明する。関数 α ↦ rα としての自己同型半径の上半連続性と弱下位半連続性を用いることで、任意のBrjuno数 α₀ に対して rα₀ > 0 が成り立つとき、任意の r < rα₀ を満たす α₀ に十分近いパラメータ α が存在し、それに対応する均一化写像は滑らかな位相で収束し、滑らかな境界動的をもたらすことが示された。

ABSTRACT

Recently, Xavier Buff and Arnaud Cheritat have provided an elegant proof of the existence of quadratic Siegel disks with smooth boundary. In this short note, we show how results of Yoccoz and Risler can be used to conclude the same result. Our proof is a small modification of the argument given by Buff and Cheritat.

研究の動機と目的

• BuffとCheritatの結果を基盤として、C∞滑らかな境界をもつ二次シーゲル円板の存在を、より簡素で抽象的な証明を与えること。
• 核心的な力学的メカニズムが、放物的爆発ではなく、自己同型半径関数 α ↦ rα の上半連続性に起因することを示すこと。
• 二次族に限らず、非Brjuno型シーゲル円板を含まない他の有理型関数や整関数への一般化を図ること。
• ヘルマン環に対しても同様の結果を得るため、円分写像の解析的線形化に応用すること。

提案手法

• Hurwitzの定理と正規族の性質から導かれる、自己同型半径関数 rα の上半連続性を利用する。
• Brjuno数および非Brjuno無理数における rα の弱下位半連続性を、Yoccozの定理（非Brjunoでは rα = 0）とRislerの結果（Brjuno数の稠密な集合で連続）に基づいて適用する。
• 上半連続かつ弱下位半連続な関数に対して中間値定理を適用し、任意の半径 r < rα₀ をもつパラメータの稠密性を導出する。
• rβi が r に単調に減少するように、α₀ に収束するパラメータ列 βi を構成し、E_r 位相における均一化写像の収束を保証する。
• コンパクト集合上で一様収束する位相と、滑らかまたは擬解析的関数の完備距離空間 E_r を用いて、線形化写像の正則性を制御する。
• Geyerによる複素アーノルド族に関する結果に置き換えることで、ヘルマン環に対しても同様の議論を適応し、上半連続性構造を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物的爆発の技法に依存せずに、二次写像における滑らかなシーゲル円板の存在を確立できるか？
• RQ2 自己同型半径関数 α ↦ rα が中間値定理を満たすために必要な最小限の力学的仮定は何か？
• RQ3 上半連続性と再帰的理論の手法は、二次多項式を超えてどの程度一般化可能か？
• RQ4 有理写像におけるヘルマン環に対しても同様の結果が成り立つか、特に複素アーノルド族においては？
• RQ5 非Brjuno数における rα の弱下位半連続性は、非Brjunoパラメータを特別扱いする必要を排除するのに十分か？

主な発見

• 任意のBrjuno数 α₀ に対して rα₀ > 0 が成り立ち、任意の r < rα₀ および δ > 0 に対し、rα = r かつ Dr 上の線形化写像 Lα が E_r 位相で Lα₀ から δ-近傍にあるような α が α₀ に十分近い位置に存在する。
• 定理2.1の条件を満たすパラメータの集合はカントール集合であるため、非可算個のこのような滑らかなシーゲル円板が存在する。
• d ≥ 2 に対して z ↦ e^{2πiα}z(1+z/d)^d や z ↦ e^{2πiα}ze^z などの有理写像族に対しても、非Brjuno型シーゲル円板を含まない限り、本手法は適用可能である。
• 同様の証明構造はヘルマン環に対しても拡張可能であり、λ₀ に近いパラメータ λ に対して rλ = r < rλ₀ かつ Tλ|Ar が E_r 位相で Tλ₀|Ar に近いことが示される。
• ヘルマン環においては、rλ = 0 であるが境界共役写像 T が元の Tλ₀|S¹ に C⁰-近傍にあるようなパラメータ λ も生成可能である。
• 証明により、シーゲル円板境界の滑らかさは、放物的爆発による力学的制御ではなく、パrameter空間の位相的性質および上半連続性の性質に起因することが明らかになった。