[論文レビュー] Smooth Solutions to a Class of Nonlocal Fully Nonlinear Elliptic Equations

Hui Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな解の存在を、広範な非局所的完全非線形楕円型方程式のクラスに対して、強固なブートストラップ正則性理論を構築することによって確立する。右辺が滑らかで境界データが有界かつ一様連続であるとき、解は領域の内部で$C^\infty$であることが証明され、非局所作用素におけるグローバル依存性の挑戦を、局所的で反復的な正則性向上戦略によって克服する。

ABSTRACT

We show that a certain class of fully nonlinear nonlocal equations have smooth solutions as long as the right-hand side is nice and the boundary datum is bounded. To this end we follow the classical strategy. We first show that solutions are $C^{σ+α}$ continuous, then develop a bootstrap argument robust enough for operators that may depend on the solution and its σ-derivatives.

研究の動機と目的

• 非局所的完全非線形楕円型方程式に対する滑らかな解を示す一般枠組みを確立すること。
• 古典的正則性手法を阻害する非局所作用素におけるグローバル依存性の挑戦に対処すること。
• 係数が解およびその非局所的微分に依存する非局所方程式へブートストラップ法を拡張すること。
• 右辺の滑らかさと境界データの有界性が、内部で$C^\infty$正則性を十分に与えることを示すこと。
• 非局所ヘッセ行列$D^\sigma_\rho u$の固有値に基づく線形および非線形作用素への応用を提供すること。

提案手法

• 重み$\rho$と方向差分$\delta u(x,y)$を用いて定義される非局所ヘッセ作用素$D^\sigma_\rho u$を導入し、2階ヘッセ行列を一般化する。
• 摂動的議論と比較原理を用いて、粘性解に対する$C^{\sigma+\alpha}$正則性推定を確立する。
• 方程式を微分し、Schauder型推定を適用することで、反復的に正則性を向上させる局所的ブートストラップ手続きを開発する。
• カットオフ関数技術を用いて非局所作用素を局所化し、境界効果を制御することで、反復的な正則性向上を可能にする。
• 方向微分への適用により、各微分が同じタイプの方程式を満たし、 Hölder連続係数を持つことを示す。
• 局所化-ブートストラップ反復を用いて、正則性を$C^{\sigma+\alpha}$から$C^{2+\sigma+\alpha}$、さらに$C^\infty$へ段階的に向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所作用素におけるグローバル依存性があるにもかかわらず、一般クラスの非局所的完全非線形楕円型方程式に対して滑らかな解を確立できるか？
• RQ2 2階PDEで用いられるブートストラップ法は、解に依存する係数を有する非局所方程式へ拡張可能か？
• RQ3 非局所作用素が解に対してグローバルに依存する場合、解の正則性を反復的に向上させられるか？
• RQ4 内部で$C^\infty$正則性を保証するための右辺および境界データの条件は何か？
• RQ5 非局所ヘッセ行列$D^\sigma_\rho u$の固有値に基づく作用素へ理論を適用できるか？

主な発見

• $B_1$における$F(D^\sigma_\rho u, x) = f(x)$のディリクレ問題は、$f$が滑らかで$g$が有界かつ一様連続であれば、内部で一意の滑らかな解をもつ。
• 解は、グローバルに$u$に依存する作用素であっても、反復的局所化-ブートストラップ論法により$B_1$で$C^\infty$であることが示される。
• $C^{\sigma+\alpha}$正則性推定が基礎的ステップとして確立され、ブートストラップ過程を可能にする。
• 線形作用素$\int \delta u(x,y) \frac{\langle A(x)y,y\rangle \rho(x,y)}{|y|^{n+\sigma+2}} dy = f(x)$に対しては、同じ条件下で滑らかな解が存在する。
• 非局所ヘッセ行列$D^\sigma_\rho u$の固有値に基づく作用素、たとえば$F(M) = f(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$（$f$が滑らかで凹性を有する）に対しても理論は適用可能である。
• より正則性が低い作用素に対しても、$f$が$C^k$で$g$が有界であり、$u$に対する事前$C^k$バウンドが得られる限り、$C^{k-1+\sigma+\alpha}$正則性が得られる。